Question

【題目】如圖，已知直線y＝－2x＋12分別與y軸，x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在y軸上，以點(diǎn)M為圓心的⊙M與直線AB相切于點(diǎn)D，連接MD.

(1)求證：△ADM∽△AOB.

(2)如果⊙M的半徑為2，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)M的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

(3)在(2)的條件下，試問在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以P，A，M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝－2；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5，2)，(－4，10)．

【解析】

（1）依題意得出MD⊥AB繼而推出∠MDA＝∠AOB，∠MAD＝∠BAO，然后可證明；

（2）設(shè)A（0，m），由直線y＝2x＋12可知，OA＝12，OB＝6，則AM＝12m，DM＝2，利用勾股定理得AB＝6，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求拋物線解析式；

（3）存在，△AOB中，OA：OB＝12：6＝2：1，則所求直角三角形兩直角邊的比為2：1，根據(jù)△PAM中，頂點(diǎn)P，A，M分別為直角頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線解析式分別求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

(1)∵AB是⊙M的切線，D是切點(diǎn)，

∴MD⊥AB，

∴∠MDA＝90°＝∠AOB.

又∵∠MAD＝∠BAO，

∴△ADM∽△AOB.

(2)設(shè)M(0，m)，由直線y＝－2x＋12得OA＝12，OB＝6，則AM＝12－m，而DM＝2，

在Rt△AOB中，AB＝.，

∵△ADM∽△AOB，

∴，

即，

解得m＝2，

∴M(0，2)．

設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a2＋，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得a2＋＝2，解得a＝－2，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－22＋；

(3)存在．①當(dāng)頂點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，M，P兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝－對(duì)稱，此時(shí)MP＝5，AM＝12－2＝10，AMMP＝2：，符合題意，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5，2)；

②當(dāng)頂點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為12，代入拋物線表達(dá)式，得－22＋＝12，解得x＝－，此時(shí)AP＝，AM＝10，不符合題意；

③當(dāng)頂點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)時(shí)，則由相似三角形的性質(zhì)可設(shè)P′的坐標(biāo)為(n，－2n＋2)或(－2m，m＋2)．若P′(n，－2n＋2)，則－2n－n＝10，解得n＝－4；當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－2×＋＝10，－2n＋2＝10，符合題意；

若P′(－2m，m＋2)，則4m+m＝10，解得m－2，當(dāng)x＝－2m＝－4時(shí)，y＝－2×＋＝10，m＋2＝4，不符合題意．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5，2)，(－4，10)．