【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,OABC的一個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,OA邊落在x軸上,且OA=4,OC=2,∠COA=45°.反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,連接AC,CD.
(1)試求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求證:CD平分∠ACB;
(3)如圖2,連接OD,在反比例的函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得S△POC=S△COD?如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3) P的坐標(biāo)為(﹣1, +1)或P(+1, ﹣1).
【解析】試題分析:(1)過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E,已知OC=2,∠COA=45°,根據(jù)勾股定理求得OE=CE=2,即可得點(diǎn)C的坐標(biāo),代入y=求得k值,即可得反比例函數(shù)的解析式;(2)過點(diǎn)D作DG⊥x軸于G,交BC于F,先求得直線AB的解析式,把反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式聯(lián)立,解方程組,求得點(diǎn)D的坐標(biāo),再求得AD和DE的長(zhǎng),根據(jù)角平分線的判定定理即可證得CD平分∠ACB;(3)存在,分點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)和點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)兩種情況求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
試題解析:
(1)如圖1,過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E,
∴∠CEO=90°,
∵∠COA=45°,
∴∠OCE=45°,
∵OC=2,
∴OE=CE=2,
∴C(2,2),
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上,
∴k=2×2=4,
∴反比例函數(shù)解析式為y=,
(2)如圖2,過點(diǎn)D作DG⊥x軸于G,交BC于F,
∵CB∥x軸,
∴GF⊥CB,
∵OA=4,
由(1)知,OC=CE=2,
∴AE=EC=2,
∴∠ECA=45°,∠OCA=90°,
∵OC∥AB,
∴∠BAC=∠OCA=90°,
∴AD⊥AC,
∵A(4,0),AB∥OC,
∴直線AB的解析式為y=x﹣4①,
∵反比例函數(shù)解析式為y=②,
聯(lián)立①②解得,或(舍),
∴D(2+2,2﹣2),
∴AG=DG=2﹣2,
∴AD=DG=4﹣2,
∴DF=2﹣(2﹣2)=4﹣2,
∴AD=DF,
∵AD⊥AC,DF⊥CB,
∴點(diǎn)D是∠ACB的角平分線上,
即:CD平分∠ACB;
(3)存在,∵點(diǎn)C(2,2),
∴直線OC的解析式為y=x,OC=2,
∵D(2+2,2﹣2),
∴CD=2﹣2
Ⅰ、如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí),即:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于2,
∵S△POC=S△COD,
∴設(shè)CD的中點(diǎn)為M,
∴M(+2,),
過點(diǎn)M作MP∥OC交雙曲線于P,
∴直線PM的解析式為y=x﹣2③,
∵反比例函數(shù)解析式為y=④,
聯(lián)立③④解得,
或(舍),
∴P(+1,﹣1);
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P'在點(diǎn)C左側(cè)時(shí),即:點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)大于0而小于2,
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為M',M'(m,n),
∴=2, =2,
∴m=2﹣,n=4﹣,
∴M'(2﹣,4﹣),
∵P'M'∥OC,
∴直線P'M'的解析式為y=x+2⑤,
聯(lián)立④⑤解得,或(舍),
∴P'(﹣1, +1).
即:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1, +1)或P(+1,﹣1).
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如圖中所畫直角三角形周長(zhǎng): .
如圖中所畫直角三角形周長(zhǎng): .
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(1)請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明站是哪一站?
(2)如果相鄰兩站之間的距離為千米,求這次小蘇志愿服務(wù)期間乘坐地鐵行進(jìn)的總路程是多少千米?
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【題目】如圖,在ΔABC中,AB=AC,BC=12,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.
(1)求△AEN的周長(zhǎng);
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