【題目】如圖1,四邊形ABCD是邊長為的正方形,矩形AEFG中AE=4,∠AFE=30°。將矩形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)15°得到矩形AMNH(如圖2),此時BD與MN相交于點O.
(1)求∠DOM的度數(shù);
(2)圖2中,求D、N兩點間的距離;
(3)若將矩形AMNH繞點A再順時針旋轉(zhuǎn)15°得到矩形APQR,此時點B在矩形APQR的內(nèi)部、外部還是邊上?并說明理由.
【答案】(1)120°;(2);(3)點B在矩形APQR的內(nèi)部.
【解析】試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得∠BAM=15°,即可得∠OKB=∠AOM=75°,又由正方形的性質(zhì),可得∠ABD=45°,然后利用外角的性質(zhì),即可求得∠DOM的度數(shù);
(2)首先連接AM,交BD于I,連接AN,由特殊角的三角函數(shù)值,求得∠HAN=30°,又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可求得∠DAN=45°,即可證得A,C,N共線,然后由股定理求得答案;
(3)在Rt△ARK中,利用三角函數(shù)即可求得AK的值,與AB比較大小,即可確定B的位置.
試題解析:(1)依題意得:∠BAM=15°,
設(shè)MN與AB交于K,
∵四邊形AMNH是矩形,
∴∠M=90°,
∴∠AKM=90°-∠BAM=75°.
∴∠BKO=∠AKM=75°.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°.
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°.
(2)連接AN,交BD于I,連接DN
∵AE=4,∠AFE=30°,∠AEF=90°,
∴AN=AF=2AE=8.
由旋轉(zhuǎn)得:∠DAH=15°,
∴∠DAN=45°.
∵正方形ABCD中,∠DAC=45°.
∴A、C、N共線.
∵正方形ABCD中,BD⊥AC,AD=AB=,
∴DI=AI=.
∴NI=AN-AI=8-3=5.
∴Rt△DIN中, .
(3)點B在矩形APQR的內(nèi)部,理由如下:
如圖,
依題意得:∠BAP=15°+15°=30°,
∵∠P=90°,
∴AK=2PK.
∵AP=4,AP2+PK2=AK2,
解得: ,
∵AB=,
∴點B在矩形APQR的內(nèi)部.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們約定,在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過象限內(nèi)某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線,叫該點的“參照線”.例如,點的參照線有:,,,(如圖1).
如圖2,正方形在平面直角坐標(biāo)系中,點在第一象限,點,分別在軸和軸上,點在正方形內(nèi)部.
(1)直接寫出點的所有參照線: ;
(2)若,點在線段的垂直平分線上,且點有一條參照線是,則點的坐標(biāo)是_______________;
(3)在(2)的條件下,點是邊上任意一點(點不與點,重合),連接,將沿著折疊,點的對應(yīng)點記為.當(dāng)點在點的平行于坐標(biāo)軸的參照線上時,寫出相應(yīng)的折痕所在直線的解析式: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校積極推進“陽光體育”工程,本學(xué)期在九年級11個班中開展籃球單循環(huán)比賽(每個班與其它班分別進行一場比賽,每班需進行10場比賽).比賽規(guī)則規(guī)定:每場比賽都要分出勝負(fù),勝一場得3分,負(fù)一場得﹣1分.
(1)如果某班在所有的比賽中只得14分,那么該班勝負(fù)場數(shù)分別是多少?
(2)假設(shè)比賽結(jié)束后,甲班得分是乙班的3倍,甲班獲勝的場數(shù)不超過5場,且甲班獲勝的場數(shù)多于乙班,請你求出甲班、乙班各勝了幾場.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2和ab的值.
(2)分解因式:
①x2-8xy+16y2
②(x+y+1)2-(x-y+1)2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CD=CE,△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上,連接BD.
(1)求證:BD=AE;
(2)若AE=5cm,AD=7cm,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,△ABC中,AD為BC邊上的中線,則有S△ABD=S△ACD,許多面積問題可以轉(zhuǎn)化為這個基本模型解答.如圖②,已知△ABC的面積為1,把△ABC各邊均順次延長一倍,連結(jié)所得端點,得到△A1B1C1,即將△ABC向外擴展了一次,則擴展一次后的△A1B1C1的面積是_____,如圖③,將△ABC向外擴展了兩次得到△A2B2C2,……,若將△ABC向外擴展了n次得到△AnBnn,則擴展n次后得到的△AnBnn面積是_____.
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【題目】某縣為落實“精準(zhǔn)扶貧惠民政策”,計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成;若乙隊單獨施工,則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍.如果由甲、乙隊先合作施工15天,那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天.
(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天?
(2)為了縮短工期以減少對居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊合作完成.則甲、乙兩隊合作完成該工程需要多少天?
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