Question

【題目】已知一次函數(shù)y= kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)， 其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是2，如圖：

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（2）在y軸是否存在一點(diǎn)P使△OAP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x-2；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)解析式分別求出A、B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)一次函數(shù)解析式為一般形式，將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出未知參數(shù)即可；（2）分三種情況，①OA=OP, ②OA=AP，③ OP=AP，結(jié)合圓對(duì)每個(gè)情況依次求解即可.

試題解析：

（1）反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是2；

∴當(dāng)x=2時(shí)，y =－4；當(dāng)y=2時(shí)，x=－4

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－4），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（－4，2）；

∵y=kx+b（k≠0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)；

∴把A（2，－4），B（－4，2）代入y=kx+b（k≠0）得：

，

解得：k=－1，b=－2；

把k=－1，b=－2代入y=k x+b（k≠0）得：y=－x－2；

（2）OA==2，OB==2.

假設(shè)存在點(diǎn)P，使△OAP為等腰三角形，分三種情況，

OA=OP，以O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，與y軸的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P，則P1(0， ) ， P2 (0， ) ；

OA=AP，以A為圓心，OA為半徑畫圓弧，與y軸的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P，作AD⊥y軸交y軸與點(diǎn)D，

∴OD=DP3=4，

∴P3（0，－8）；

OP=AP，作OA的垂直平分線分別交y軸于點(diǎn)P4，交AO于點(diǎn)E，垂直平分線與y軸的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P.

∴OE=，

∵cos∠EOP4==，

∴=，

∴OP4=，

∴P4 (0， ).