【題目】如圖,點A為平面直角坐標系第一象限內(nèi)一點,直線y=x過點A,過點A作AD⊥y軸于點D,點B是y軸正半軸上一動點,連接AB,過點A作AC⊥AB交x軸于點C.
(1)如圖,當點B在線段OD上時,求證:AB=AC;
(2)①如圖,當點B在OD延長線上,且點C在x軸正半軸上, OA、OB、OC之間的數(shù)量關系為________(不用說明理由);
②當點B在OD延長線上,且點C在x軸負半軸上,寫出OA、OB、OC之間的數(shù)量關系,并說明原因.
(3)直線BC分別與直線AD、直線y=x交于點E、F,若BE=5,CF=12,直接寫出AB的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①OA=(OC+OB);②OA=(OB-OC);(3)10; 15.
【解析】
(1)過點A作AE⊥OC于點E,先證明四邊形ADOE是正方形,再證明Rt△ADB≌Rt△AEC(AAS),從而求得結論;(2)①過點A作AE⊥OC于點E,方法同(1)證明四邊形ADOE是正方形,Rt△ADB≌Rt△AEC,△AOD是等腰直角三角形,再應用勾股定理即可得結論OA=(OC+OB);②方法同①得結論:OA=(OB-OC);(3)①當點B在線段OD上時,將△AFC繞點A順時針旋轉90°,AC與AB重合,變?yōu)?/span>△ABF′,連接EF′,證明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13,再證明△AEF≌△AEF′,所以EF= EF′=13,BF=EF-EB=13-5=8,BC=BF+FC=8+12=20,而△ABC是等腰直角三角形,所以AB==10; ②當點B在OD延長線上,且點C在x軸正半軸上時,方法同①,解得:AB=15;③當點B在OD延長線上,且點C在x軸負半軸上時,方法同上,解得:AB=3 .
(1)過點A作AE⊥OC于點E,
∵AD⊥y,點A在y=x上,∠DOE=90°
∴四邊形ADOE是矩形,AE=OE,
∴矩形ADOE是正方形,
∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠EAC,
又∵∠BDA=∠CEA=90°
∴Rt△ADB≌Rt△AEC
∴AB=AC.
(2)① 過點A作AE⊥OC于點E,
方法同(1)得,四邊形ADOE是正方形,Rt△ADB≌Rt△AEC,AB=AC,BD=CE,
∴OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD,即OD=(OC+OB)
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴由勾股定理得:OA=OD =×(OC+OB)=(OC+OB),
即OA=(OC+OB),
②過點A作AE⊥OC于點E,
方法同(1)得,四邊形ADOE是正方形,Rt△ADB≌Rt△AEC,AB=AC,BD=CE,
∴OB-OD=OC+OE,即OB-OC=OD+OE=2OD=OA,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴由勾股定理得:OA=OD,OD= OA ,
∴OB-OC= OD+OE=2OD=OA,即OB-OC=OA,OA=(OB-OC)
(3)①當點B在線段OD上時,
將△AFC繞點A順時針旋轉90°,AC與AB重合,變?yōu)?/span>△ABF′,連接EF′,BF′=CF=12,∠ACB=∠ABC=∠ABF′=45°,∠CBF′=∠ABC+∠ABF′=90°,所以∠EBF′=90°,
又∵BE=5,∴EF′=13,
∵∠F′AO=90°, ∠FAE=∠F′AE=45°,AE=AE,AF=AF′,
∴△AEF≌△AEF′
∴EF= EF′=13,BF=EF-EB=13-5=8,BC=BF+FC=8+12=20,
由(1)得:△ABC是等腰直角三角形,∴AB==10;
②當點B在OD延長線上,且點C在x軸正半軸上時,
方法同①,旋轉△AFC到△AF′B,證出∠EBF′,EF′=13=EF,BC=BE+EF+FC=5+13+12=30,所以等腰直角三角形ABC的直角邊AB=15;
③當點B在OD延長線上,且點C在x軸負半軸上,
已證△ABC是等腰直角三角形,
過點B作BF′⊥BC于點B,截取 BF′=CF=12, 連接F′E、F′A,∵BE=5,
∴∠ABF′=∠ACF=135°,EF′=13
AB=AC,
∴△ABF′≌△ACF,可得AF′=AF,∠/span>BAF′=∠CAF,
∴∠BAC=∠F′AF=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAF=45°=∠EAF′,又AE=AE
∴△EAF≌△EAF′,
∴EF=EF′=13,EC=EF-CF=13-12=1,BC=BE+EC=1+5=6,
∴在等腰直角三角形ABC中,直角邊AB=3.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應國家節(jié)能減排的號召,鼓勵居民節(jié)約用電,各省市先后出臺了“階梯價格”制度,如表中是某市的電價標準(每月)
階梯 | 電量x(單位:度) | 電費價格(單位:元/度) |
一檔 | 0<x≤180 | a |
二檔 | 180<x≤400 | b |
三檔 | x>400 | 0.95 |
(1)已知陳女士家三月份用電256度,繳納電費154.56元,四月份用電318度,繳納電費195.48元請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出表格中的a,b的值.
(2)5月份開始用電增多,陳女士繳納電費280元,求陳女士家5月份的用電量.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了從甲、乙兩名選手中選拔一個參加射擊比賽,現(xiàn)對他們進行一次測驗,兩個人在相同條件下各射靶次,為了比較兩人的成績,制作了如下統(tǒng)計圖表:
甲乙射擊成績統(tǒng)計表
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | 命中環(huán)的次數(shù) | |
甲 | ||||
乙 |
甲乙射擊成績折線圖
(1)請補全上述圖表(請直接在統(tǒng)計表中填空和補全折線圖);
(2)如果規(guī)定成績較穩(wěn)定者勝出,則_____勝出,理由是____________________;
(3)如果希望(2)中的另一名選手勝出,根據(jù)圖表中的信息,應該制定怎樣的評判規(guī)則?說明理由.
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【題目】威麗商場銷售A、B兩種商品,售出1件A種商品和4件B種商品所得利潤為600元;售出3件A種商品和5件B種商品所得利潤為1100元.
(1)求每件A種商品和每件B種商品售出后所得利潤分別為多少元?
(2)由于需求量大,A、B兩種商品很快售完,威麗商場決定再一次購進A、B兩種商品共34件,如果將這34件商品全部售完后所得利潤不低于4000元,那么威麗商場至少需購進多少件A種商品?
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【題目】在一個不透明的口袋中,放有三個標號分別為1,2,3的質地、大小都相同的小球.任意摸出一個小球,記為x,再從剩余的球中任意摸出一個小球,又記為y,得到點(x,y).
(1)用畫樹狀圖或列表等方法求出點(x,y)的所有可能情況;
(2)求點(x,y)在二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+c(a≠0)圖象的對稱軸上的概率.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,AD為BC邊上的高,點P從點B以每秒個單位長度的速度向終點C運動,同時點Q從點C以每秒1個單位長度的速度向終點A運動,其中一個點到達終點時,兩點同時停止.
(1)求BC的長;
(2)設△PDQ的面積為S,點P的運動時間為t秒,求S與t的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)在動點P、Q的運動過程中,是否存在PD=PQ,若存在,求出△PDQ的周長,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:關于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m=0有兩個實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)如果m取符合條件的最小整數(shù),且一元二次方程x2﹣6x﹣m=0與x2+nx+1=0有一個相同的根,求常數(shù)n的值.
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【題目】(1)如圖1,在Rt△ABC 中, ,D、E是斜邊BC上兩動點,且∠DAE=45°,將△繞點逆時針旋轉90后,得到△,連接.
(1)試說明:△≌△;
(2)當BE=3,CE=9時,求∠BCF的度數(shù)和DE的長;
(3)如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,D是斜邊BC所在直線上一點,BD=3,BC=8,求DE2的長.
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