Question

將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．
（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm²，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？
（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm²嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為（5-x）cm，
依題意列方程得x²+（5-x）²=17，
整理得：x²-5x+4=0，
（x-4）（x-1）=0，
解方程得x₁=1，x₂=4，
1×4=4cm，20-4=16cm；
或4×4=16cm，20-16=4cm．
因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm、16cm；

（2）兩個正方形的面積之和不可能等于12cm²．
理由：
設(shè)兩個正方形的面積和為y，則
y=x²+（5-x）²=2（x-）²+，
∵a=2＞0，
∴當(dāng)x=時，y的最小值=12.5＞12，
∴兩個正方形的面積之和不可能等于12cm²；
（另解：由（1）可知x²+（5-x）²=12，
化簡后得2x²-10x+13=0，
∵△=（-10）²-4×2×13=-4＜0，
∴方程無實數(shù)解；
所以兩個正方形的面積之和不可能等于12cm²．）
分析：（1）這段鐵絲被分成兩段后，圍成正方形．其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為=（5-x），根據(jù)“兩個正方形的面積之和等于17cm²”作為相等關(guān)系列方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)兩個正方形的面積和為y，可得二次函數(shù)y=x²+（5-x）²=2（x-）²+，利用二次函數(shù)的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判斷兩個正方形的面積之和不可能等于12cm²．
點評：此題等量關(guān)系是：兩個正方形的面積之和=17或12．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解題的關(guān)鍵．