Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知 A(4，0)、B(1，3)， 過的直線是繞著△OAB的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，與y軸相交于點(diǎn)P，探究解決下列問題：

（1）如圖1所示，當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到與邊OB相交時(shí)，試用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)P的位置，使頂點(diǎn)O、B到直線的距離之和最大，（保留作圖痕跡）；

（2）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到與y軸的負(fù)半軸相交時(shí)，使頂點(diǎn)O、B到直線的距離之和最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ．（可在圖2中分析）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（0，）．

【解析】

（1）如圖1，過A點(diǎn)作直線⊥OB于點(diǎn)F，與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置．

過點(diǎn)O作OD⊥于D，過點(diǎn)B作BC⊥于C．利用三角形的面積公式得到為定值，FA取最小值即可．由垂線段最短入手進(jìn)行解答；

（2）如圖2所示，延長BA到G點(diǎn)，使BA=AG，聯(lián)結(jié)OG，結(jié)合（1）問得到到的距離之和最大時(shí)的位置，過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，利用三角形全等得到相關(guān)數(shù)量關(guān)系，再利用等角的三角函數(shù)可得答案．

（1）、如圖1，過A點(diǎn)作直線⊥OB于點(diǎn)F，與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置．

理由如下：

如圖1所示，過點(diǎn)O作OD⊥于D，過點(diǎn)B作BC⊥于C．

∵為定值．

要使點(diǎn)O、B到直線l的距離之和最大，即OD+BC最大，

只要使FA最小，

∴過A點(diǎn)作直線⊥OB于點(diǎn)F，此時(shí)FA即為最小值（此時(shí)，點(diǎn)F、D、C重合）．

∴與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置；

尺規(guī)作圖如下圖；

（2）、如圖2所示，延長BA到G點(diǎn)，使BA=AG，聯(lián)結(jié)OG，

則 旋轉(zhuǎn)直線 至⊥OG于點(diǎn)F，

此時(shí)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

到的距離相等，

由（1）知：到的距離之和最大，

所以：到的距離之和最大，

所以與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)，

過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E， ∵B（1，3），A（4，0），

∴EB=EA=3．

過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，

∴△ABE≌△AGH（AAS），

∴AH=3，GH=3，

∴OH=7， ∴tan∠HOG=

又∵直線⊥OG于點(diǎn)F，

∴∠OPA=∠HOG，

∴tan∠OPA=tan∠HOG=，

∴ ，

∴ 3 OP =28， ∴OP=

∴P（0，）．