【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知 A(4,0)、B(1,3), 過的直線是繞著△OAB的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),與y軸相交于點(diǎn)P,探究解決下列問題:
(1)如圖1所示,當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到與邊OB相交時(shí),試用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)P的位置,使頂點(diǎn)O、B到直線的距離之和最大,(保留作圖痕跡);
(2)當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到與y軸的負(fù)半軸相交時(shí),使頂點(diǎn)O、B到直線的距離之和最大,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .(可在圖2中分析)
【答案】(1)詳見解析;(2)(0,).
【解析】
(1)如圖1,過A點(diǎn)作直線⊥OB于點(diǎn)F,與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置.
過點(diǎn)O作OD⊥于D,過點(diǎn)B作BC⊥于C.利用三角形的面積公式得到為定值,FA取最小值即可.由垂線段最短入手進(jìn)行解答;
(2)如圖2所示,延長BA到G點(diǎn),使BA=AG,聯(lián)結(jié)OG,結(jié)合(1)問得到到的距離之和最大時(shí)的位置,過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E,過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,利用三角形全等得到相關(guān)數(shù)量關(guān)系,再利用等角的三角函數(shù)可得答案.
(1)、如圖1,過A點(diǎn)作直線⊥OB于點(diǎn)F,與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置.
理由如下:
如圖1所示,過點(diǎn)O作OD⊥于D,過點(diǎn)B作BC⊥于C.
∵為定值.
要使點(diǎn)O、B到直線l的距離之和最大,即OD+BC最大,
只要使FA最小,
∴過A點(diǎn)作直線⊥OB于點(diǎn)F,此時(shí)FA即為最小值(此時(shí),點(diǎn)F、D、C重合).
∴與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn)位置;
尺規(guī)作圖如下圖;
(2)、如圖2所示,延長BA到G點(diǎn),使BA=AG,聯(lián)結(jié)OG,
則 旋轉(zhuǎn)直線 至⊥OG于點(diǎn)F,
此時(shí),關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,
到的距離相等,
由(1)知:到的距離之和最大,
所以:到的距離之和最大,
所以與y軸的交點(diǎn)即為所確定的P點(diǎn),
過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E, ∵B(1,3),A(4,0),
∴EB=EA=3.
過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,
∴△ABE≌△AGH(AAS),
∴AH=3,GH=3,
∴OH=7, ∴tan∠HOG=
又∵直線⊥OG于點(diǎn)F,
∴∠OPA=∠HOG,
∴tan∠OPA=tan∠HOG=,
∴ ,
∴ 3 OP =28, ∴OP=
∴P(0,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,若O為BC邊的中點(diǎn),則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論,解決如下問題:如圖,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng),則PF2+PG2的最小值為( 。
A. B. C. 34 D. 10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線與x軸交于點(diǎn)A,C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.點(diǎn)Q為線段BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C).
(1)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)E為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn)且位于第一象限,當(dāng)的周長最小時(shí),求面積的最大值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)的面積最大時(shí),過點(diǎn)E作軸,垂足為N,將線段CN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)N,再將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位長度.得到點(diǎn)P,點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上,請(qǐng)問在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)H,使點(diǎn)D,P,G,H構(gòu)成菱形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)(是常數(shù),)圖象的對(duì)稱軸是直線,其圖象的一部分如圖所示,下列說法中①;②;③當(dāng)時(shí),;④;⑤.正確的結(jié)論有( )
A.①②④B.②③④C.①③⑤D.①②③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等邊△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn).作射線AD,點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E.連接CE并延長,交射線AD于點(diǎn)F.
(1)如圖①,連接AE,
①AE與AC的數(shù)量關(guān)系是 ;
②設(shè)∠BAF=a,用a表示∠BCF的大;
(2)如圖②,用等式表示線段AF,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京地鐵票價(jià)計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示:
乘車距離(公里) | |||||
票價(jià)(元) | 3 | 4 | 5 | 6 | 每增加1元可乘坐20公里 |
另外,使用市政交通一卡通,每個(gè)自然月每張卡片支出累計(jì)滿100元后,超出部分打8折;滿150元后,超出部分打5折;支出累計(jì)達(dá)400元后,不再打折.小紅媽媽上班時(shí),需要乘坐地鐵15公里到達(dá)公司,每天上下班共乘坐兩次.如果每次乘坐地鐵都使用市政交通一卡通,那么每月第21次乘坐地鐵上下班時(shí),她刷卡支出的費(fèi)用( 。
A.2.5元B.3元C.4元D.5元
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【題目】某公司計(jì)劃投資萬元引進(jìn)一條汽車配件流水生產(chǎn)線,經(jīng)過調(diào)研知道該流水生產(chǎn)線的年產(chǎn)量為件,每件總成本為萬元,每件出廠價(jià)萬元;流水生產(chǎn)線投產(chǎn)后,從第年到第年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)(萬元)如下表:
第年 | ··· | ||||||
維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)萬元 | ··· |
若上表中第年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)(萬元)與的數(shù)量關(guān)系符合我們已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中某一個(gè).
(1)求出關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)投產(chǎn)第幾年該公司可收回萬元的投資?
(3)投產(chǎn)多少年后,該流水線要報(bào)廢(規(guī)定當(dāng)年的盈利不大于維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)即報(bào)費(fèi))?
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【題目】某市為了緩解城市交通壓力,決定修建人行天橋,原設(shè)計(jì)天橋的樓梯與地面的夾角為45°(∠ABC=45°),BC=4.2 m,后考慮安全因素,將樓梯角B移到CB的延長線上點(diǎn)D處,使∠ADC=23°(如圖所示).求BD的長(精確到0.1 m).(參考數(shù)據(jù):sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,tan 67°≈2.36)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:① 4ac<b2;② 方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別是x1=-1,x2=3;③ 3a+c>0;④當(dāng) y>0時(shí),x的取值范圍是-1<x<3;⑤ 當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大.其中正確的結(jié)論序號(hào)有_____________________.
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