Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BC＝2.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿沿射線AB以1的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PE∥BC交射線AC于點(diǎn)E，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿BC的延長(zhǎng)線以1的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)BE、EQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）.

（1）求證：△APE是等邊三角形；

（2）直接寫出CE的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，且不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，求證：△BPE≌△ECQ.

（4）在不添加字母和連結(jié)其它線段的條件下，當(dāng)圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)大于3時(shí)，直接寫出t的值和對(duì)應(yīng)的等腰三角形的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2-t或t-2；（3）見解析；（4）當(dāng)t=1時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形；當(dāng)t=4時(shí)，圖中有4個(gè)等腰三角形

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠ABC=∠ACB =60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠ABC=60°，∠AEP=∠ACB=60°，再利用等邊三角形的判定即可得證；

（2）由（1）可得AE=AP=t，分E沒過C點(diǎn)與過C點(diǎn)兩種情況進(jìn)行解答即可；

（3）△ABC與△APE都是是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)易證BP=EC，∠BPE=∠ECQ=120°，再通過“邊角邊”證明△BPE≌△ECQ即可；

（4）當(dāng)P在AB的中點(diǎn)，即t=1時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形；當(dāng)P點(diǎn)在AP=2AB，即t=4時(shí)，圖中有4個(gè)等腰三角形.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB =60°，

∵，

∴∠APE=∠ABC=60°，∠AEP=∠ACB=60°．

∴△APE是等邊三角形；

（2）∵△APE是等邊三角形，

∴AE=AP=t，

當(dāng)E點(diǎn)沒過C點(diǎn)時(shí)，AE=2﹣t；

當(dāng)E點(diǎn)過了C點(diǎn)時(shí)，AE=t﹣2；

（3）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°．

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=PE=AE，∠APE=60°．

∴AB-AP=AC-AE，∠BPE=∠ECQ=120°，

∴BP=EC，

∵AP=CQ=t，

∴PE=CQ，

∴△BPE≌ECQ（SAS）；

（4）如圖1，當(dāng)t=1時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形：△ABC，△APE，△PBE，△CQE，△EBQ；

如圖2，當(dāng)t=4時(shí)，圖中有4個(gè)等腰三角形:△ABC，△APE，△CBE，△EQB.