Question

【題目】如圖1，在中，∠B=90°，，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．

問題發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)時(shí)，_____；當(dāng)時(shí)，_____．

拓展探究：

試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明．

問題解決：

當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小沒有變化；（3）BD的長(zhǎng)為：．

【解析】

（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)，求出的值是多少即可．

（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

（3）分兩種情況分析，A、D、E三點(diǎn)所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

解：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC=，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴AE=AC=5，BD=BC=4，

∴．

②如圖1，當(dāng)α=180°時(shí)，

可得AB∥DE，

∵，

∴．

故答案為：①；②.

（2）如圖2，

當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如圖3，連接BD，

∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE=AB=3，

∴AE=AD+DE=，

由（2），可得：，

∴BD=；

②如圖4，連接BD，

∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE=AB=3，

∴AE=AD-DE=，

由（2），可得：，

∴BD=AE=．

綜上所述，BD的長(zhǎng)為：．