Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求△PAC的周長；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)Q，使以M、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）連接BC，交直線l于點(diǎn)P，則此時(shí)△PAC的周長最小，先根據(jù)點(diǎn)B、C坐標(biāo)求得直線BC的解析式，再結(jié)合直線l的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)PA+PC+AC=PB+PC+AC=BC+AC，利用勾股定理即可得出答案；
（3）當(dāng)△AOC∽△OMQ時(shí)，根據(jù)$\frac{AO}{OM}=\frac{OC}{MQ}$求得MQ的長度可得此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)△AOC∽△QMO時(shí)，根據(jù)$\frac{AO}{QM}=\frac{OC}{MO}$求得MQ的長度可得此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，繼而得出答案．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx+3，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3；

（2）如圖，連接BC，交直線l于點(diǎn)P，則此時(shí)△PAC的周長最小，

∵y=-x²+2x+3中x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
又直線l的解析式為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴直線l：x=1與直線BC：y=-x+3交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對稱，
∴PA=PB，
則PA+PC+AC
=PB+PC+AC
=BC+AC
=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$
=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$，
即△PAC的周長為3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；

（3）存在，
如圖2，

∵∠AOC=∠OMQ=90°，
∴當(dāng)△AOC∽△OMQ時(shí)，$\frac{AO}{OM}=\frac{OC}{MQ}$，即$\frac{1}{1}$=$\frac{3}{MQ}$，
則MQ=3，
∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或（1，-3）；
當(dāng)△AOC∽△QMO時(shí)，$\frac{AO}{QM}=\frac{OC}{MO}$，即$\frac{1}{QM}$=$\frac{3}{1}$，
則MQ=$\frac{1}{3}$，
∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{3}$）或（1，-$\frac{1}{3}$）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，3）或（1，-3）或（1，$\frac{1}{3}$）或（1，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．