【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線過點,,與軸交于點.點是軸下方的拋物線上一動點(包含點,).作直線,若過點作軸的垂線,交直線于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在點運動的過程中,請求出面積的最大值及此時點的坐標;
(3)在點運動的過程中,是否存在點,使是等腰三角形.若存在,請直接寫出點的橫坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)面積的最大值為5,此時點的坐標為;(3)存在,點的橫坐標為2,1.5或.
【解析】
(1)將A、B兩點坐標代入函數(shù)解析式計算即可;
(2)先求出直線BC的解析式,設(shè)點的橫坐標為,當點在直線下方時,,先求出PQ的最大值,進而得到面積的最大值及此時點的坐標,當點在直線上方時,,同樣求出PQ的最大值,進而得到面積的最大值及此時點的坐標,最后兩者比較大小即可;
(3)分別討論當CQ=CP,CQ=QP及CP=QP時,畫出相應(yīng)圖形,構(gòu)造直角三角形利用勾股定理計算即可.
解:(1)根據(jù)題意,拋物線的解析式可寫為:,
即,
,.
∴ 該拋物線的解析式為.
(2)如圖,連接,.
將代入得,.
.
設(shè)直線的解析式為.
將,代入得,
解得
∴直線的解析式為:.
設(shè)點的橫坐標為,
當點在直線下方時,,
則,,
,
∴當時,最大,此時,.
∴面積的最大值為:.
當點在直線上方時,,
∴
∴當時,最大,此時,.
∴面積的最大值為:.
∵,
∴面積的最大值為5,此時點的坐標為
(3)設(shè)點的橫坐標為,則,,
∴PQ=||=||,
如圖,當CQ=CP時,過點C作CH⊥PQ,
則PQ=2QC,
∵點C(0,-2),
∴QC=||=||,
∴||=2||,
解得m=2或m=0(舍去)
如圖,當CQ=QP時,則CQ=QP=||,
過點C作CH⊥PQ,則CH=|m|,QH=||,
在Rt△QCH中,QC2=QH2+CH2,
∴,
解得m=或m=(舍去)或m=0(舍去),
如圖,當CP=QP時,則CP=QP=||,
過點C作CH⊥PQ,則CH=|m|,PH=||=||,
在Rt△PCH中,PC2=PH2+CH2,
∴,
解得m=1.5,
∴存在點,使是等腰三角形,點的橫坐標為2,1.5或.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,DC與⊙O相切于點C,交AB的延長線于點D.
(1)求證:∠BAC=∠BCD;
(2)若BD=4,DC=6,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是圓周上一點,連接AC、BC,以點C為端點作射線CD、CP分別交線段AB所在直線于點D、P,使∠1=∠2=∠A.
(1)求證:直線PC是⊙O的切線;
(2)若CD=4,BD=2,求線段BP的長.
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點A(1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點P是直線BC下方的拋物線上一動點(不點B,C重合),過點P作y軸的平行線交直線BC于點D,求PD的長度最大時點P的坐標.
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點E,點M是拋物線的對稱軸上一點,N為y軸上一點,是否存在這樣的點M和點N,使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形?如果存在,請直接寫出點M的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,以AB為直徑作半圓,點P是CD中點,BP與半圓交于點Q,連結(jié)DQ,給出如下結(jié)論:①;②;③;④,其中正確結(jié)論是______填寫序號
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,邊長為1的正方形的兩邊在坐標軸上,以它的對角線為邊作正方形,再以正方形的對角線為邊作正方形,以此類推、則正方形的頂點的坐標是______.
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【題目】某校初三進行了第三次模擬考試,該校領(lǐng)導(dǎo)為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)考試情況,抽樣調(diào)查部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并將抽樣的數(shù)據(jù)進行了如下整理:
①如下分數(shù)段整理樣本;
等級等級 | 分數(shù)段 | 各組總分 | 人數(shù) |
A | 110<X<120 | P | 4 |
B | 100<X<110 | 843 | n |
C | 90<X≤100 | 574 | m |
D | 80<X<90 | 171 | 2 |
②根據(jù)左表繪制扇形統(tǒng)計圖.
(1)填空m= ,n= ,數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)所在的等級 ;
(2)如果該校有1200名學(xué)生參加了本次模擬測,估計D等級的人數(shù);
(3)已知抽樣調(diào)查學(xué)生的數(shù)學(xué)成績平均分為102分,求A等級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均分數(shù).
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【題目】為了給游客提供更好的服務(wù),某景區(qū)隨機對部分游客進行了關(guān)于“景區(qū)服務(wù)工作滿意度”的調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表.
根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 ,表中的值為 ;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)據(jù)統(tǒng)計,該景區(qū)平均每天接待游客約3600人,若將“非常滿意”和“滿意”作為游客對景區(qū)服務(wù)工作的肯定,請你估計該景區(qū)服務(wù)工作平均每天得到多少名游客的肯定.
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