Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠CAB的角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經過B，M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，FB恰為⊙O的直徑．

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當BC＝6，cosC＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）連接OM，證出∠EBM＝OMB，得出OM∥BE；由等腰三角形的性質，得AE⊥BC，則OM⊥AE，從而證明結論；

（2）設⊙O的半徑是r，根據等腰三角形三線合一的性質，得BE＝CE＝3，解直角三角形求得AB＝AC＝5，則OA＝5﹣r，從而根據平行線分線段成比例定理求解．

（1）證明：連接OM，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB．

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM＝∠EBM，

∴∠EBM＝∠OMB，

∴OM∥BE．

∵AB＝AC，AE是∠CAB的平分線，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE與⊙O相切；

（2）解：設⊙O的半徑是r．

∵AB＝AC，AE是∠CAB的角平分線，，

∴AE⊥BC，BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C．

∵，

∴AB＝AC＝＝＝5，

則OA＝5﹣r．

∵OM∥BE，

∴＝，

即＝，

解得r＝，

即⊙O的半徑為．