【題目】已知拋物線y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn),若m>1,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),OA:OB=1:3
(1)試確定拋物線的解析式;
(2)直線y=kx﹣3與拋物線交于M、N兩點(diǎn),若△AMN的內(nèi)心在x軸上,求k的值.
(3)設(shè)(2)中拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸,將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折,拋物線的其余部分保持不變,得到一個(gè)新圖象,請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答:當(dāng)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0)且y0≤7時(shí),求b的取值范圍.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1.
(2)k=﹣3或;
(3)當(dāng)﹣1<b≤7或b<﹣時(shí)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)設(shè)A(﹣a,0),B(3a,0),根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得解方程組即可解決問(wèn)題.
(2)設(shè)M(m,km﹣3),N(n,kn﹣3),顯然m、n是方程:x2﹣(k+)x+2=0的兩根,得到m+n=3k+2,mn=6,再根據(jù)直線AM,直線AN兩直線與x軸夾角相等,
即tan∠MAB=tan∠NAB,列出方程,整體代入即可求出k的值.
(3)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0)且y0≤7,所以b0≤7,又當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,﹣1)時(shí),b=﹣1,所以當(dāng)﹣1<b≤7時(shí),直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0,當(dāng)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程只有相等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)△=0,列出方程求出b,由此即可解決問(wèn)題.
試題解析:(1)∵OA:OB=1:3,
∴可以假設(shè)A(﹣a,0),B(3a,0),
則有消去a得到3m2﹣16m+16=0,解得m=或4(不合題意舍棄),
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1.
(2)設(shè)M(m,km﹣3),N(n,kn﹣3),
∵點(diǎn)M、N在拋物線上,則M(m,m2﹣m﹣1),N(n,n2﹣n﹣1),
∴km﹣3=m2﹣m﹣1,kn﹣3=n2﹣n﹣1,
顯然m、n是方程:x2﹣(k+)x+2=0的兩根,
則m+n=3k+2,mn=6,
∵△CMN的內(nèi)心在y軸上,A(﹣1,0),B(3,0),
∴直線AM,直線AN兩直線與x軸夾角相等,
∴tan∠MAB=tan∠NAB
∴,
整理得到,2kmn+K(m+n)﹣3(m+n)﹣6=0,
∴12k+k(3k+2)﹣3(3k+2)=0,
解得k=﹣3或.
(3)∵直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0)且y0≤7,
∴b0≤7,
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,﹣1)時(shí),b=﹣1,
∴當(dāng)﹣1<b≤7時(shí),直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),
由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0,
當(dāng)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),方程只有相等的實(shí)數(shù)根,△=0,
∴9+12+12b=0,
∴b=﹣.
∴當(dāng)b<﹣時(shí),當(dāng)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),
綜上所述,當(dāng)﹣1<b≤7或b<﹣時(shí)直線y=x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).
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(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀,并說(shuō)明理由;
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).
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A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差
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【題目】⊙o的半徑是13,弦AB∥CD,AB=24,CD=10,則AB與CD的距離是( )
A.7 B.17 C.7或17 D.4
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【題目】“※”定義新運(yùn)算:對(duì)于有理數(shù)a、b都有:a※b=ab-(a+b),那么5※3=__________;當(dāng)m為有理數(shù)時(shí),3※(m※2)=____________。
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【題目】﹣(a﹣b+c)變形后的結(jié)果是( )
A.﹣a+b+c
B.﹣a+b﹣c
C.﹣a﹣b+c
D.﹣a﹣b﹣c
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【題目】下面關(guān)于x的方程中:①ax2+bx+c=0;②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;③x+3=;④(a2+a+1)x2﹣a=0;(5)=x﹣1,一元二次方程的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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