Question

【題目】（1）操作發(fā)現(xiàn)：

如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G．猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

（2）類比探究：

如圖，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）猜想線段GF=GC，

證明：∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，

∴△ECG≌△EFG，

∴FG=CG；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．

證明：∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE=EF，∠B=∠AEF，

∴EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵矩形ABCD改為平行四邊形，

∴∠B=∠D，

∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AEF=180°﹣∠B=180°﹣∠D，

∴∠ECD=∠EFG，

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF，

∴FG=CG；

【解析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，進(jìn)而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．