【題目】已知:t1,t2是方程t2+2t240的兩個實數(shù)根,且t1t2,拋物線yx2+bx+c的圖象經(jīng)過點At1,0),B0,t2).

1)求這個拋物線的解析式;

2)設(shè)點Pxy)是拋物線上一動點,且位于第三象限,四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形,求平行四邊形OPAQ的面積Sx之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

3)在(2)的條件下,當(dāng)平行四邊形OPAQ的面積為24時,是否存在這樣的點P,使OPAQ為正方形?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)yx2+x+4;(2S=﹣4x+2+25(﹣6x<﹣1);(3)不存在這樣的點P,使四邊形OPAQ為正方形,理由見解析

【解析】

(1)解方程t2+2t240,可得A(-6,0),B(0,4),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點P(x,y),利用x,y表示四邊形的邊長求得面積S=﹣+25,利用面積是正數(shù)的性質(zhì)求出x的取值范圍是﹣6<x<﹣1;

(3)把S=24代入解析式S=﹣+25中求得y的值,從而得到點P的坐標(biāo),根據(jù)實際意義進(jìn)行值的取舍,討論可知不存在這樣的點P,使四邊形OPAQ為正方形.

解:(1t2+2t240,(t+6)(t4)=0,t1=﹣6,t24

t1t2

A(﹣6,0),B04

∵拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A,B兩點.

解得,

yx2+x+4

2)∵點Px,y)在拋物線上,位于第三象限,

y0,即﹣y0

又∵S2SAPO×|OA||y||OA||y|6|y|,

S=﹣6y

=﹣6x2+x+4

=﹣4x2+7x+6

=﹣4x+2+25

y0時,x2+x+40,

解得x1=﹣6x2=﹣1

∵拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(﹣6,0),(﹣1,0),

x的取值范圍為﹣6x<﹣1

3)當(dāng)S24時,得24=﹣4x+2+25,

解得:x1=﹣3,x2=﹣4

代入解析式得:y1=﹣4,y2=﹣4

∴點P的坐標(biāo)為(﹣3,﹣4),(﹣4,﹣4

當(dāng)點P為(﹣3,﹣4)時,滿足POPA,此時,平行四邊形OPAQ是菱形.

當(dāng)點P為(﹣4,﹣4)時,不滿足POPA,此時,平行四邊形OPAQ不是菱形.

而要使平行四邊形OPAQ為正方形,那么,一定有OAPQ,AOPQ,

此時,點P的坐標(biāo)為(﹣3,﹣3),而(﹣3,﹣3)不在拋物線yx2+x+4上,

故不存在這樣的點P,使四邊形OPAQ為正方形.

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