Question

以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接FM、EM．

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長(zhǎng)線上時(shí)，=_______；

②如圖2，將圖1中的△AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角（），其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明；

（2）如圖3，若BO=，點(diǎn)N在線段OD上，且NO="2." 點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段PN長(zhǎng)度的最小值為_______，最大值為_______．

Answer 1

（1）①；②不變；（2），

解析試題分析：（1）①連接EF，由已知條件證明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°），其他條件不變，的值不發(fā)生變化，連接EF、AD、BC，由①的思路證明∠EMF=30°即可；
（2）過(guò)O作OE⊥AB于E，由已知條件求出當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=-2；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長(zhǎng)線時(shí)，NP取最大值OB+ON=3+2．
（1）①連接EF，
∵點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，
∴EF，F(xiàn)M是分別是△ACD和△DBC的中位線，
∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°=；
②結(jié)論：的值不變.
連接EF、AD、BC

∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴.
∴
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD="∠BOC."
∴△AOD∽△BOC．
∴，∠1="∠2."
∵點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，且，  
∴，∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4="∠5."
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4="90°."
∴∠EFM=90°
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，
∴∠EMF=30°.
∴；
（2）O作OE⊥AB于E，
∵BO=3，∠ABO=30°，
∴AO=3，AB=6，
∴AB•OE=OA•OB，
∴OE=，
∴當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為，
這時(shí)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長(zhǎng)線時(shí)，NP取最大值OB+ON=，
∴線段PN長(zhǎng)度的最小值為，最大值為.
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，梯形的中位線和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義
點(diǎn)評(píng)：此題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．