Question

以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

（1）點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，連接FM、EM．

①如圖1，當(dāng)點D、C分別在AO、BO的延長線上時，=_______；

②如圖2，將圖1中的△AOB繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角（），其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進行證明；

（2）如圖3，若BO=，點N在線段OD上，且NO="2." 點P是線段AB上的一個動點，在將△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為_______，最大值為_______．

 

Answer 1

【答案】

（1）①；②不變；（2），

【解析】

試題分析：（1）①連接EF，由已知條件證明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°），其他條件不變，的值不發(fā)生變化，連接EF、AD、BC，由①的思路證明∠EMF=30°即可；

（2）過O作OE⊥AB于E，由已知條件求出當(dāng)P在點E處時，點P到O點的距離最近為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=-2；當(dāng)點P在點B處時，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=3+2．

（1）①連接EF，

∵點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，

∴EF，F(xiàn)M是分別是△ACD和△DBC的中位線，

∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，

∵∠ABO=∠DCO=30°，

∴∠CDO=60°，

∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，

∴∠EFM=90°，

∴△EFM是直角三角形，

∵EM∥CD，

∴∠EMF=∠MFD=30°，

∴cos30°=；

②結(jié)論：的值不變.

連接EF、AD、BC

∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴

∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，

∴.

∴

∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，

∴∠AOD="∠BOC."

∴△AOD∽△BOC．

∴，∠1="∠2."

∵點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，

∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，且，  

∴，∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4="∠5."

∵∠2+∠5+∠6=90°，

∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4="90°."

∴∠EFM=90°

∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，

∴∠EMF=30°.

∴；

（2）O作OE⊥AB于E，

∵BO=3，∠ABO=30°，

∴AO=3，AB=6，

∴AB?OE=OA?OB，

∴OE=，

∴當(dāng)P在點E處時，點P到O點的距離最近為，

這時當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=；

當(dāng)點P在點B處時，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=，

∴線段PN長度的最小值為，最大值為.

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，梯形的中位線和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義

點評：此題知識點多，綜合性強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系．