Question

以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

圖1                         圖2                     圖3

（1）點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接FM、EM．

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長線上時(shí)，=_______；

②如圖2，將圖1中的△AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進(jìn)行證明；

（2）如圖3，若BO=，點(diǎn)N在線段OD上，且NO=2.點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，在將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為_______，最大值為_______．

 

Answer 1

【答案】

（1）= 的值不變。（2）PN的最大值為-2 最小值為3+2.

【解析】

試題分析：有題意可得△AOD∽△BOCD,即AD/BO=/3，又E F M分別是中點(diǎn)知，EF="1/2AD" ,FA="1/2" 根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，知相似比。由特殊角的三角函數(shù)，∠EMF=30°∴FM/EM=.的值不變，由于角的值不變。解：（1）①；    1分

②結(jié)論：的值不變.   （閱卷說明：判斷結(jié)論不設(shè)給分點(diǎn)）

證明：連接EF、AD、BC.（如圖）

    

∵Rt△AOB中，∠AOB=90，∠ABO=30，

∴.

∵Rt△COD中，∠COD=90，∠DCO=30，

∴.

∴.

∵∠AOD=90+∠BOD，∠BOC=90+∠BOD，

∴∠AOD=∠BOC.

∴△AOD∽△BOC．  2分

∴，∠1=∠2.

∵點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，

∴EF∥AD，FM∥CB，且，.

∴，  3分

∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5.

∵∠2+∠5+∠6=90，

∴∠1+∠4+∠6=90，即∠3+∠4=90.

∴∠EFM=90.    4分

∵在Rt△EFM中，∠EFM=90，，

∴∠EMF=30.

∴. 5分

（2）線段PN長度的最小值為，最大值為.    7分

閱卷說明：第（2）問每空1分.

考點(diǎn)：相似三角形的判定，直角三角形特殊角與邊的關(guān)系，

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是證相似三角形，及其轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系，從中找到所求的邊之間的關(guān)系。本題屬于難題，計(jì)算多，應(yīng)用的知識點(diǎn)也多。不但要掌握幾何的知識，還要熟知三角函數(shù)。