Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx+4m與x軸交于點(diǎn)A(，0）和點(diǎn)B(，0)，與y軸交于點(diǎn)C，，若對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．

（1）求拋物線的解析式

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)M，使|MC-MB|的值最大；

（3）點(diǎn)Q是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)P，連接CQ，當(dāng)△CPQ是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x-4；（2）M(1，-6)；（3）P1 ()，P2(2，-2)，P3()．

【解析】

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m，結(jié)合對(duì)稱軸在y軸右側(cè)可得結(jié)果；

（2）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)AC作直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，求出A，B，C的坐標(biāo)，求出AC的表達(dá)式，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；

（3）分PC=PQ，QC=QP，CP=CQ分別討論，求出相應(yīng)x值即可.

解：（1）∵y=x2+mx+4m與x軸交于，0)和點(diǎn)B(，0)，

∴是方程x2+mx+4m=0的兩個(gè)根，

，

，

∴(-2m)2-16m=20，

解得m1=5，m2=-1，

∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

∴m=-1，

∴y=-x-4；

（2）y=-x-4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，

當(dāng)y=0時(shí)=-2，=4，

∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)，

過點(diǎn)AC作直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

將(-2，0)，(0，-4)代入，

則，

解得，

得y=-2x-4，當(dāng)x=1時(shí)，y=-6，

∴M(1，-6)；

（3）直線BC的解析式為y=k1x+b1，

將(4，0)，(0，-4)代入，

則，

解得，

得y=x-4，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，作PH⊥y軸于H，

則PC=，

∴PQ=|(x-4)--x-4）|

（圖一） （圖二）

如圖一圖二，當(dāng)CQ=CP時(shí)，(x-4)+-x-4）=-8，

x=0，不合題意，所以不存在；

（圖三） （圖四） （圖五）

如圖三，當(dāng)PC=PQ時(shí)，=(x-4)- -x-4），

解得x=，

∴P()

如圖四，當(dāng)CQ=PQ時(shí)，x=(x-4)- -x-4），

解得x=2，

∴P(2，-2)；

如圖五，當(dāng)PC=PQ時(shí) ，

-x-4）-(x-4)=，

解得：x=，

∴P()；

綜上：P1() ，P2(2，-2)，P3().