Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C （0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由見解析；（3）⊙M的半徑為或

【解析】

（1）已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,3)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；

（2）在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，過點(diǎn)Q作OM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥OC于點(diǎn)N，根據(jù)△QCO是等邊三角形，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證Q點(diǎn)是否在拋物線上；

（3）分兩種情況①當(dāng)⊙M與y軸相切，如圖所示，令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，PM=t，將PM用t表示出來，列出關(guān)于t的一元二次方程，求得t，進(jìn)而求得半徑；②⊙M與x軸相切，過點(diǎn)M作MN⊥OB于N，如圖所示，令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，因?yàn)?/span>PN=2MN，列出關(guān)于m的一元二次方程，即可求出m，進(jìn)而求得⊙M的半徑．

（1）∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,3)

∴

解得

∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3

故答案為：y＝﹣x2+x+3

（2）在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，過點(diǎn)Q作OM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥OC于點(diǎn)N

∵△QCO是等邊三角形，OC=3

∴CN=

∴NQ=

即Q(,)

當(dāng)x=時(shí)，y＝﹣×()2+×+3=≠

∴Q(,)不在拋物線上

y＝﹣x2+x+3

故答案為：不存在，理由見解析

（3）①⊙M與y軸相切，如圖所示

∵y＝﹣x2+x+3

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+3=0

解得x1=-1，x2=4

∴B(4,0)

令直線BC的解析式為y=kx+b

解得

∴直線BC的解析式為

令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t

∵MP∥y軸，⊙M與y軸相切

∴t=﹣t2+t+3-

解得t=

⊙M的半徑為

②⊙M與x軸相切，過點(diǎn)M作MN⊥OB于N，如圖所示

令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m

∵PN=2MN

∴

解得m=1或m=4（舍去）

∴⊙M的半徑為：

故答案為：⊙M的半徑為或