【題目】如圖,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,交BC的延長線于點D,延長DA交△ABC的外接圓于點F,連接FB,F(xiàn)C.
(1)求證:∠FBC=∠FCB;
(2)已知FAFD=12,若AB是△ABC外接圓的直徑,F(xiàn)A=2,求CD的長.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓,

∴∠FBC+∠FAC=180°,

∵∠CAD+∠FAC=180°,

∴∠FBC=∠CAD,

∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,

∴∠EAD=∠CAD,

∵∠EAD=∠FAB,

∴∠FAB=∠CAD,

又∵∠FAB=∠FCB,

∴∠FBC=∠FCB;


(2)

解:由(1)得:∠FBC=∠FCB,

又∵∠FCB=∠FAB,

∴∠FAB=∠FBC,

∵∠BFA=∠BFD,

∴△AFB∽△BFD,

,

∴BF2=FAFD=12,

∴BF=2 ,

∵FA=2,

∴FD=6,AD=4,

∵AB為圓的直徑,

∴∠BFA=∠BCA=90°,

∴tan∠FBA= = = ,

∴∠FBA=30°,

又∵∠FDB=∠FBA=30°,

∴CD=ADcos30°=4× =2


【解析】(1)由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補角關(guān)系證出∠FBC=∠CAD,再由角平分線和對頂角相等得出∠FAB=∠CAD,由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出結(jié)論;
   。2)由(1)得:∠FBC=∠FCB,由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC,由公共角∠BFA=∠BFD,證出△AFB∽△BFD,得出對應(yīng)邊成比例求出BF,得出FD、AD的長,由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°,由三角函數(shù)求出∠FBA=30°,再由三角函數(shù)求出CD的長即可.本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識;本題綜合性強,有一定難度,證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的圖象的頂點在第四象限,且過點(﹣1,0),當a﹣b為整數(shù)時,ab的值為( 。
A.或1
B.或1
C.
D.

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1△AEF≌△CEB

2AF=2CD

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(1)圖中A→C( , ),B→C( , ),C→ (+1, );

(2)若這只甲蟲從A處去甲蟲P處的行走路線依次為(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),請在圖中標出P的位置;

(3)若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D,請計算該甲蟲走過的路程;

(4)若圖中另有兩個格點M、N,且M→A(3-a,b-4),M→N(5-a,b-2),則N→A應(yīng)記為什么?

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【題目】某一公路的道路維修工程,準備從甲、乙兩個工程隊選一個隊單獨完成.根據(jù)兩隊每天的工程費用和每天完成的工程量可知,若由兩隊合做此項維修工程,6天可以完成,共需工程費用385200元,若單獨完成此項維修工程,甲隊比乙隊少用5天,每天的工程費用甲隊比乙隊多4000元,從節(jié)省資金的角度考慮,應(yīng)該選擇哪個工程隊?

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請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息,解答下列問題:
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