【題目】如圖,A(0,8)是直角坐標(biāo)系y軸上一點,動點P從原點O出發(fā),沿x軸正半軸運動,速度為每秒1個單位長度,以P為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設(shè)P點的運動時間為t秒.
(1)若AB∥x軸,求t的值;
(2)當(dāng)t=6時,坐標(biāo)平面內(nèi)有一點M(不與A重合),使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等,請直接寫出點M的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在點D,使O、A、B、D為頂點的四邊形面積是104?如果存在,請求出點D的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由;
(4)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A,連接A′B,在點P運動的過程中∠OA′B的度數(shù)是否會發(fā)生變化,若不變,請求出∠OA′B的度數(shù),若改變,請說明理由.
【答案】(1) t的值為秒;(2) 點M的坐標(biāo)為:(12,﹣8),(8,14),(14,﹣2);(3) 存在,點D的坐標(biāo)為:(18,0)或(,0);(4)∠OA'B=45°,不發(fā)生變化;理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)是等腰直角三角形以及AB∥軸,求得∠APO為直角,證得也是等腰直角三角形,從求得答案;
(2)分類討論:分別討論當(dāng)△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB時,點M的坐標(biāo)的情況;過點M作x軸的垂線、過點B作y軸的垂線,利用等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)求得點M的坐標(biāo)即可.
(3)分類討論:①D在x軸的正半軸上;②D在x軸的負半軸上,根據(jù)面積的和差,列式計算可得答案.
(4)根據(jù)已知條件易證△PAO≌△BPC,利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合點A、點B的坐標(biāo),可求得點B的坐標(biāo),可證得點B在直線上,再根據(jù)點A關(guān)于x軸的對稱點為(0,-8)也在直線上,從而求得∠OA′B的度數(shù).
(1) ∵是以P為直角頂點的等腰直角三角形,
∴,
∵AB∥軸,
∴,
∴為等腰直角三角形,
∴,
∴(秒),
故t的值為秒;
(2)當(dāng)t=6時,M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等,
①如下圖,若△ABP≌△MBP,
則AP=PM,過點M作MD⊥OP于點D,
在△AOP和△MDP中,
,
∴△AOP≌△MDP(AAS),
∴OA=DM=8,OP=PD=6,
∴M的坐標(biāo)為:(12,-8).
②如下圖,若△ABP≌△MPB,則,
過點M作M⊥x軸于點,過點作⊥x軸于點,過點作⊥軸于點,
∵△APB為等腰直角三角形,則△MPB也為等腰直角三角形,
∴∠BAP=∠MPB=45,
∵△APB為等腰直角三角形,
∴∠3+∠2=180°-90°=90°.
又∵∠1+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△PAO和△BPE中,
,
∴△PAO≌△BPE(AAS),
∴
∵⊥x軸⊥軸
∴四邊形為矩形,
∴,則
在和中
∠BAF=45+,∠MPE=45+,
∴∠BAF=∠MPE
在和中
∴
∴
∴M的坐標(biāo)為:(8,14),
③如下圖,若△ABP≌△MPB,則,
過點M作M⊥x軸于點,過點作⊥x軸于點,過點作⊥軸于點,
∵△APB為等腰直角三角形,則△MPB也為等腰直角三角形,
∴∠BAP=∠MPB=45,
∵△APB為等腰直角三角形,
∴∠3+∠2=180°-90°=90°.
又∵∠1+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△PAO和△BPE中,
,
∴△PAO≌△BPE(AAS),
∴
∵⊥x軸⊥軸
∴四邊形為矩形,
∴,則
∵⊥軸
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴M的坐標(biāo)為:(14,﹣2).
綜合以上可得點M的坐標(biāo)為:(12,﹣8),(8,14),(14,﹣2);
(3) 存在,
①D在x軸的正半軸上,設(shè)D(a,0),作BE⊥x軸于E點,如下圖:
∵△APB為等腰直角三角形,
∴∠3+∠2=180°-90°=90°.
又∵∠1+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△PAO和△BPE中,
,
∴△PAO≌△BPE(AAS),
∴
∵BE⊥x軸
∴BE∥AO,
∴,
∵四邊形AOBD的面積是104,
∴點D在點的右側(cè),
∴,
∴,
∴點D的坐標(biāo)為:(18,0).
②D在x軸的負半軸上,如下圖:
根據(jù)上面所求得的數(shù)據(jù)得:
,
∴,
∴點D的坐標(biāo)為:(,0).
綜上:點D的坐標(biāo)為:(18,0)或(,0);
(4)∠OA'B=45°,不發(fā)生變化;理由如下:
∵△APB為等腰直角三角形,
∴∠3+∠2=180°-90°=90°.
又∵∠1+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△PAO和△BPC中,
,
∴△PAO≌△BPC(AAS),
∴AO=PC,BC=PO.
∵點A(0,8),點P(t,0)
∴PC=AO=8,BC=PO=t,CO=PC+PO=8+t
∴點B(8+t,t);
∴點B在直線上
又∵點A關(guān)于x軸的對稱點為(0,-8)也在直線上,
∴∠OA'B=45°.
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)PA+PB的值最小時,求點P的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在一點Q(Q與B不重合),使△CDQ的面積等于△BCD的面積?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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(1)甲,乙兩公司單獨完成此項工程,各需多少天?
(2)若讓一個公司單獨完成這項工程,哪個公司的施工費較少?
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