【題目】如圖,已知拋物線的頂點為A(1,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C,D兩點.點P是x軸上的一個動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當PA+PB的值最小時,求點P的坐標;
(3)拋物線上是否存在一點Q(Q與B不重合),使△CDQ的面積等于△BCD的面積?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;(2)當PA+PB的值最小時的點P的坐標為(,0);(3)點Q的坐標為(2,3)或(1﹣,﹣3)或(1+,﹣3).
【解析】
(1)設(shè)拋物線頂點式解析式y=a(x-1)2+4,然后把點B的坐標代入求出a的值,即可得解;(2)先求出點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標,連接AB′與x軸相交,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,交點即為所求的點P,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB′的解析式,再求出與x軸的交點即可.(3)S△CDQ=S△BCD且CD是兩三角形的公共底邊知|yQ|=yB=3,據(jù)此得yQ=3或yQ=-3,再分別求解可得.
解:(1)∵拋物線的頂點為A(1,4),
∴設(shè)拋物線的解析式y=a(x﹣1)2+4,
把點B(0,3)代入得,a+4=3,
解得a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標為(0,﹣3),
由軸對稱確定最短路線問題,連接AB′與x軸的交點即為點P,
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b(k≠0),
則,
解得,
∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3,
令y=0,則7x﹣3=0,
解得x=,
所以,當PA+PB的值最小時的點P的坐標為(,0).
(3)∵S△CDQ=S△BCD,且CD是兩三角形的公共底邊,
∴|yQ|=yB=3,
則yQ=3或yQ=﹣3,
當yQ=3時,﹣(x﹣1)2+4=3,
解得:x=0或x=2,
則點Q(2,3);
當yQ=﹣3時,﹣(x﹣1)2+4=﹣3,
解得:x=1﹣或x=1+,
則點Q坐標為(1﹣,﹣3)或(1+,﹣3);
綜上,點Q的坐標為(2,3)或(1﹣,﹣3)或(1+,﹣3).
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【題目】如圖,直線經(jīng)過點,,與雙曲線在第二象限內(nèi)交于點,且的面積為.
求直線的解析式及的值;
試探究:在軸上是否存在點,使為直角三角形?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°,如果無人機距地面高度CD為米,點A、D、E在同一水平直線上,則A、B兩點間的距離是_____米.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,A(0,8)是直角坐標系y軸上一點,動點P從原點O出發(fā),沿x軸正半軸運動,速度為每秒1個單位長度,以P為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設(shè)P點的運動時間為t秒.
(1)若AB∥x軸,求t的值;
(2)當t=6時,坐標平面內(nèi)有一點M(不與A重合),使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等,請直接寫出點M的坐標;
(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在點D,使O、A、B、D為頂點的四邊形面積是104?如果存在,請求出點D的坐標,如果不存在,請說明理由;
(4)設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A,連接A′B,在點P運動的過程中∠OA′B的度數(shù)是否會發(fā)生變化,若不變,請求出∠OA′B的度數(shù),若改變,請說明理由.
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【題目】為了解中學生“平均每天體育鍛煉時間”的情況,某地區(qū)教育部門隨機調(diào)查了若干名中學生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作統(tǒng)計圖①和圖②,請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)本次接受隨機抽樣調(diào)查的中學生人數(shù)為_______,圖①中m的值是_____ ;
(2)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),估計該地區(qū)250000名中學生中,每天在校體育鍛煉時間大于等于1.5h的人數(shù).
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【題目】甲、乙兩地之間的鐵路交通設(shè)有特快列車和普通快車兩種車次,某天一輛普通快車從甲地出發(fā)勻速向乙地行駛,同時另一輛特快列車從乙地出發(fā)勻速向甲地行駛,兩車離甲地的路程S(千米)與行駛時間t(時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)甲地到乙地的路成為________千米,普通快車到達乙地所用時間為_______小時.
(2)求特快列車離甲地的路程s與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在甲、乙兩地之間有一座鐵路橋,特快列車到鐵路橋后又行駛0.5小時與普通快車相遇,求甲地與鐵路橋之間的路程.
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【題目】桌面上放有4張卡片,正面分別標有數(shù)字1,2,3,4,這些卡片除數(shù)字外完全相同.把這些卡片反面朝上洗勻后放在桌面上,甲從中任意抽出一張,記下卡片上的數(shù)字后仍放反面朝上放回洗勻,乙從中任意抽出一張,記下卡片上的數(shù)字,然后將這兩數(shù)相加.
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法求兩數(shù)和為5的概率;
(2)若甲與乙按上述方式做游戲,當兩數(shù)之和為5時,甲勝;反之則乙勝;若甲勝一次得12分,那么乙勝一次得多少分,才能使這個游戲?qū)﹄p方公平?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,E為BC的中點,連接DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=30°,DE=3,求AD的長.
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【題目】某商品的進價為每件50元.當售價為每件70元時,每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價處理,且經(jīng)市場調(diào)查:每降價1元,每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下,解答下列問題:
(1)若設(shè)每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;
(2)當降價多少元時,每星期的利潤最大?最大利潤是多少?
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