Question

【題目】在正方形ABCD和正方形DEFG中，頂點(diǎn)B、D、F在同一直線上，H是BF的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若AB=1，DG=2，求BH的長(zhǎng)；

（2）如圖2，連接AH，GH．

小宇觀察圖2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：延長(zhǎng)AH交EF于點(diǎn)M，連接AG，GM，要證明結(jié)論成立只需證△GAM是等腰直角三角形；

想法2：連接AC，GE分別交BF于點(diǎn)M，N，要證明結(jié)論成立只需證△AMH≌△HNG．…

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小宇證明AH=GH，AH⊥GH．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理得出BD，DF，進(jìn)而求出BF，即可得出結(jié)論；

（2）想法1、先判斷△ABH≌△MFH，進(jìn)而判斷出△ADG≌△MFG．即可判斷出△AGM為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；

想法2、先判斷出MN=BF．進(jìn)而判斷出△AMH≌△HNG，即可判斷出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出結(jié)論．

（1）∵正方形中ABCD和正方形DEFG，∴△ABD，△GDF為等腰直角三角形．

∵AB=1，DG=2，∴由勾股定理得BD=，DF=2．

∵B、D、F共線，∴BF=3．

∵H是BF的中點(diǎn)，∴BH=BF=．

（2）想法1：

如圖1，延長(zhǎng)AH交EF于點(diǎn)M，連接AG，GM．

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線，∴AB∥EF，∴∠ABH=∠MFH．

又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，∴△ABH≌△MFH，∴AH=MH，AB=MF．

∵AB=AD，∴AD=MF．

∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，∴△ADG≌△MFG，∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．

又∵∠DGM+∠MGF=90°，∴∠AGD+∠DGM=∠AGM=90°，∴△AGM為等腰直角三角形．

∵AH=MH，∴AH=GH，AH⊥GH．

想法2：

如圖2，連接AC，GE分別交BF于點(diǎn)M，N．

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線，∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=AM=BD，DN=GN=DF，∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=BF．

∵H是BF的中點(diǎn)，∴BH=BF，∴BH=MN，∴BH﹣MH=MN﹣MH，∴BM=HN．

∵AM=BM=DM，∴AM=HN=DM，∴MD+DH=NH+DH，∴MH=DN．

∵DN=GN，∴MH=GN．

在△AMH和△HNG中，∵AM=HN，∠AMD=∠HNG，MH=NG，∴△AMH≌△HNG，∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．

∵∠HGN+∠GHN=90°，∴∠AHM+∠GHN=90°，∴∠AHG=90°，∴AH⊥GH，∴AH=GH，AH⊥GH．