Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE⊥AD，交AB于點E，AE為⊙O的直徑．

（1）判斷BC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）求證：△ABD∽△DBE；

（3）若cosB=，AE=4，求CD．

Answer 1

【答案】（1）BC與⊙O相切；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）結論：BC與⊙O相切，連接OD只要證明OD∥AC即可．

（2）欲證明△ABD∽△DBE，只要證明∠BDE=∠DAB即可．

（3）在Rt△ODB中，由cosB==，設BD=k，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出k，再利用DO∥AC，得列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）結論：BC與⊙O相切．

證明：如圖連接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切線．

（2）∵BC是⊙O切線，∴∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODE=90°，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠BDE=∠DAB，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE．

（3）在Rt△ODB中，∵cosB==，設BD=k，OB=3k，∵OD2+BD2=OB2，∴4+8k2=9k2，∴k=2，∴BO=6，BD=，∵DO∥AC，∴，∴，∴CD=．