Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義:已知兩個(gè)函數(shù)，如果對(duì)于任意的自變量,這兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值記為, 恒有點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(此三個(gè)點(diǎn)可以重合)，由于對(duì)稱中心都在直線上，所以稱這兩個(gè)函數(shù)為關(guān)于直線的“相依函數(shù)”。例如: 和為關(guān)于直線的 “相依函數(shù)”.

（1）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo):

（2）若直線和它關(guān)于直線的“相依函數(shù)”的圖象與軸圍成的三角形的面積為，求的值;

（3）若二次函數(shù)和為關(guān)于直線的“相依函數(shù)”.

①請(qǐng)求出的值;

②已知點(diǎn)、點(diǎn)連接直接寫出和兩條拋物線與線段有目只有兩個(gè)交占時(shí)對(duì)應(yīng)的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（1，-4）；（2）；（3）①-1，2 ； ②或

【解析】

（1）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于成中心對(duì)稱，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線與它的“相依函數(shù)”的圖象上的任意一點(diǎn)，根據(jù)相依函數(shù)的定義，可得：直線關(guān)于直線y=x的相依函數(shù)是：，結(jié)合“直線和它關(guān)于直線的“相依函數(shù)”的圖象與軸圍成的三角形的面積為”，列出關(guān)于n的方程，即可求解；

（3）①由相依函數(shù)的定義，得：，化簡(jiǎn)整理后，即可求解；②分四種情況畫(huà)出二次函數(shù)，的圖象，即可得到答案．

（1）∵點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，

∴，即：，

∵點(diǎn)N與點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱，

∴；

（2）設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線與它的“相依函數(shù)”的圖象上的任意一點(diǎn)，

∴，

，

∴直線關(guān)于直線y=x的相依函數(shù)是：，

聯(lián)立，解得：，

∴直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∵直線與直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是：(0，n)，(0，-n)，

由題意得：，解得：；

（3）①由題意得：，

∴，對(duì)于任意的x都成立，

∴，解得：；

②由第①小題，可知：，，

當(dāng)時(shí)，如圖1，

當(dāng)時(shí)，如圖2，

當(dāng)時(shí)，如圖3，

當(dāng)時(shí)，如圖4，

綜上可知:或時(shí)，拋物線與線段有且只有兩個(gè)交點(diǎn)．