Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6.

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；

（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ=MN時，求菱形對角線MN的長.

Answer 1

【答案】(1) ，點D的坐標為(2，-8) (2) 點F的坐標為(7，)或(5，)(3) 菱形對角線MN的長為或.

【解析】分析：（1）利用待定系數法，列方程求二次函數解析式.(2)利用解析法，∠FAB=∠EDB， tan∠FAG=tan∠BDE，求出F點坐標.(3)分類討論，當MN在x軸上方時，在x軸下方時分別計算MN.

詳解：

(1)∵OB=OC=6，

∴B(6，0)，C(0，-6).

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為.

∵=，

∴點D的坐標為(2，-8).

(2)如圖，當點F在x軸上方時，設點F的坐標為(x，).過點F作FG⊥x軸于點G，易求得OA=2，則AG=x+2，FG=.

∵∠FAB=∠EDB，

∴tan∠FAG=tan∠BDE，

即，

解得，(舍去).

當x=7時，y=，

∴點F的坐標為(7，).

當點F在x軸下方時，設同理求得點F的坐標為(5，).

綜上所述，點F的坐標為(7，)或(5，).

(3)∵點P在x軸上，

∴根據菱形的對稱性可知點P的坐標為(2，0).

如圖，當MN在x軸上方時，設T為菱形對角線的交點.

∵PQ=MN，

∴MT=2PT.

設TP=n，則MT=2n. ∴M(2+2n，n).

∵點M在拋物線上，

∴，即.

解得，(舍去).

∴MN=2MT=4n=.

當MN在x軸下方時，設TP=n，得M(2+2n，-n).

∵點M在拋物線上，

∴，

即.

解得，(舍去).

∴MN=2MT=4n=.

綜上所述，菱形對角線MN的長為或.