Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連結CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P．

（1）求證：BF=EF：

（2）求證：PA是⊙O的切線；

（3）若FG=BF，且⊙O的半徑長為3，求BD的長度.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 證明見解析；（3）2

【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；

（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到∠FAO=∠EBO，結合BE是圓的切線，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線；

（3）點F作FH⊥AD于點H，根據前兩問的結論，利用三角形的相似性質即可以求出BD的長度．

詳解：證明：(1)∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，

∴EB⊥BC.

又∵AD⊥BC，

∴AD∥BE.

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，

∴=，=，

∴=，

∵G是AD的中點，

∴DG=AG，

∴BF=EF；

(2)連接AO，AB.

∵BC是圓O的直徑，

∴∠BAC=90°，

由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜邊BE的中點，

∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，

又∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

∵BE是圓O的切線，

∴∠EBO=90°，

∴∠FBA+∠ABO=90°，

∴∠FAB+∠BAO=90°，

即∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，

∴PA是圓O的切線；

（3）過點F作FH⊥AD于點H，

∵BD⊥AD，FH⊥AD，

∴FH∥BC，

由(2)，知∠FBA=∠BAF，

∴BF=AF.

∵BF=FG，

∴AF=FG，

∴△AFG是等腰三角形.

∵FH⊥AD，

∴AH=GH，

∵DG=AG，

∴DG=2HG.

即，

∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，

∴四邊形BDHF是矩形，

∴BD=FH，

∵FH∥BC

∴△HFG∽△DCG，

∴，

即，

∴，

∵O的半徑長為3，

∴BC=6，

∴BD=＝2.