Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO＝4，OB＝2，OC為射線，且∠BOC＝60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，則OP＝　 　，S△ABP＝　 　；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)AP＝AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求AQBP的值．為了求AQBP的值，小華同學(xué)嘗試過(guò)O點(diǎn)作OE∥AP交BP于點(diǎn)E，試?yán)�用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)補(bǔ)全圖形并求AQBP的值．

Answer 1

【答案】（1）2，3 ；（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，t＝2或t＝；（3）補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，AQPB＝12．

【解析】

（1）作PD⊥AB于點(diǎn)D，利用三角函數(shù)求解；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，分∠A＝90°、∠B＝90°、∠APB＝90°，畫出對(duì)應(yīng)圖形，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求解；

（3）過(guò)點(diǎn)O作OE∥AP，交PB于點(diǎn)E，構(gòu)造一對(duì)相似三角形，即△OAQ∽△PEO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求解.

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，OP＝2t＝2×1＝2．

如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．

在Rt△POD中，PD＝OPsin60°＝2×＝，

∴S△ABP＝ABPD＝×（4+2）×＝3．

故答案為：2，3．

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，

①若∠A＝90°．

∵∠BOC＝60°且∠BOC＞∠A，

∴∠A≠90°，故此種情形不存在；

②若∠B＝90°，如答圖2所示：

∵∠BOC＝60°，

∴∠BPO＝30°，

∴OP＝2OB＝4，又OP＝2t，

∴t＝2；

③若∠APB＝90°，如答圖3所示：

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則OD＝OPsin30°＝t，PD＝OPsin60°＝t，

∴AD＝OA+OD＝4+t，BD＝OB-OD＝2-t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2＝AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）＝AB2，

即[（4+t）2+（t）2]+[（2-t）2+（t）2]＝62，

解方程得：t＝或t＝（負(fù)值舍去），

∴t＝．

綜上所述，當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，t＝2或t＝．

（3）如答圖4，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AP，交PB于點(diǎn)E，

則有＝，

∴PE＝PB．

∵AP＝AB，

∴∠APB＝∠B，

∵OE∥AP，

∴∠OEB＝∠APB，

∴∠OEB＝∠B，

∴OE＝OB＝2，∠3+∠B＝180°．

∵AQ∥PB，

∴∠OAQ+∠B＝180°，

∴∠OAQ＝∠3；

∵∠AOP＝∠1+∠QOP＝∠2+∠B，∠QOP＝∠B，

∴∠1＝∠2；

∴△OAQ∽△PEO，

∴＝，即，

化簡(jiǎn)得：AQPB＝12．