Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，矩形ABCD中，AD=2AB，連接AC，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到某一位置，觀察圖形，提出問題并加以解決．

實(shí)踐操作

（1）如圖2，慎思組的同學(xué)將圖1中的△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C'，此時(shí)B'C過點(diǎn)D，則∠ADB= 　度．

（2）博學(xué)組的同學(xué)在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3，此時(shí)點(diǎn)C'落在CD的延長(zhǎng)線上，連接BB'，該組提出下面兩個(gè)問題：

①C'D和AB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

②BB'和AC′有何位置關(guān)系？并說明理由．

請(qǐng)你解決該組提出的這兩個(gè)問題．

提出問題

（3）請(qǐng)你參照以上操作，將圖1中的△ABC旋轉(zhuǎn)至某一位置，在圖4中畫出新圖形，表明字母，說明構(gòu)圖方法，并提出一個(gè)問題，不必解答．

Answer 1

【答案】（1）30（2）①C′D=AB②見解析（3）見解析

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AB′、∠B′=∠B=90°，結(jié)合AD=BC=2AB可得AD=2AB′，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①C′D=AB，利用“HL”證Rt△ADC′≌Rt△ABC即可得；②過點(diǎn)C′作C′H垂直于BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證△C′HA≌△C′B′A得∠HAC′=∠C′AB，由AB=AB′知∠ABB′=∠AB′B，據(jù)此根據(jù)∠HAB′=∠ABB′+∠AB′B可得2∠C′AB′=2∠AB′B，即可證得結(jié)論；（3）將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△AB′C′，AB′與對(duì)角線AC重合時(shí)，B′C′與AD交于點(diǎn)M，求S△AB′M：S△ADC的值？利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可解決此題．

（1）由題意知△ABC≌△AB′C′，

∴AB=AB′、∠B′=∠B=90°，

∵AD=BC=2AB，

∴在Rt△AB′D中，AD=2AB′，

則∠ADB′=30°，

故答案為：30；

（2）①C′D=AB，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC、∠ABC=∠ADC=∠ADC′=90°，

由旋轉(zhuǎn)知AC′=AC，

在Rt△ADC′和Rt△ABC中，

∵，

∴Rt△ADC′≌Rt△ABC（HL），

∴C′D=AB；

②如圖a，過點(diǎn)C′作C′H垂直于BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

則四邊形HADC′是矩形，

∴C′H=AD、AH=C′D=AB，

在△C′HA和△C′B′A中，

∵，

∴△C′HA≌△C′B′A（SSS），

∴∠HAC′=∠C′AB，

又∵AB=AB′，

∴∠ABB′=∠AB′B，

在△ABB′中，∠HAB′=∠ABB′+∠AB′B，即∠HAC′+∠C′AB′=∠ABB′+∠AB′B，

∴2∠C′AB′=2∠AB′B，

∴∠C′AB′=∠AB′B，

∴AC′∥BB′；

（3）如圖b，

將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△AB′C′，AB′與對(duì)角線AC重合時(shí)，B′C′與AD交于點(diǎn)M，求S△AB′M：S△ADC的值？