(2013•曲靖)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上,連接DE,過點(diǎn)C作CF⊥DE于F,過點(diǎn)A作AG∥CF交DE于點(diǎn)G.
(1)求證:△DCF≌△ADG.
(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),設(shè)∠DCF=α,求sinα的值.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AD=DC,∠ADC=90°,根據(jù)垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AGD=∠CFG=90°,從而得到∠AGD=∠CFD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF,然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可;
(2)設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,表示出AE,再利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊求出∠ADG的正弦,即為α的正弦.
解答:(1)證明:在正方形ABCD中,AD=DC,∠ADC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠CFD=∠CFG=90°,
∵AG∥CF,
∴∠AGD=∠CFG=90°,
∴∠AGD=∠CFD,
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°,
∠DCF+∠CDE=90°,
∴∠ADG=∠DCF,
∵在△DCF和△ADG中,
∠AGD=∠CFD
∠ADG=∠DCF
AD=DC

∴△DCF≌△ADG(AAS);

(2)設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),
∴AE=
1
2
×2a=a,
在Rt△ADE中,DE=
AD2+AE2
=
(2a)2+a2
=
5
a,
∴sin∠ADG=
AE
DE
=
a
5
a
=
5
5

∵∠ADG=∠DCF=α,
∴sinα=
5
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù),同角的余角相等的性質(zhì),以及勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握各圖形的性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.
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AC
=
CD
=
DB
.設(shè)過點(diǎn)D的切線ED交AC的延長線于點(diǎn)F.連接OC交AD于點(diǎn)G.
(1)求證:DF⊥AF.
(2)求OG的長.

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1
2
CD的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作射線OE,連接CD.則下列說法錯(cuò)誤的是(  )

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40°
40°

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