【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的斜邊BCx軸上,直角頂點Ay軸的正半軸上,,.

(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸;

(2)設(shè)點是拋物線在第一象限部分上的點,的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求使S最大時點P的坐標(biāo);

(3)在拋物線對稱軸上,是否存在這樣的點M,使得為等腰三角形(P為上述(2)問中使S最大時的點)?若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(4)設(shè)點M是直線AC上的動點,試問:在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在位于直線AC下方的點N,使得以點O、A、MN為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=;對稱軸為x=;(2)S=-(m-2)2+4,點P的坐標(biāo)為(2,3)(3)M的坐標(biāo)為(,)()(,)()(,)時,△MPC為等腰三角形;(4)N的坐標(biāo)為()(,)(-2,1)

【解析】

1)由同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,得到三角形AOB與三角形AOC相似,由相似得比例,求出OC的長,確定出C坐標(biāo),由BC坐標(biāo)設(shè)出拋物線的交點式解析式,將A坐標(biāo)代入求出a的值,確定出拋物線解析式,求出對稱軸即可;

2)連接AP,CP,過PPQ垂直于x軸,將x=m代入拋物線解析式表示出P的縱坐標(biāo),即為PQ的長,三角形APC面積=梯形APQO面積+三角形PQC面積-三角形AOC面積,列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時m的值,即可確定出此時P的坐標(biāo);

3)分點M是頂點、點C是頂點、點P是頂點三種情況分別討論即可;

4)分為邊、為對角線分別進行討論即可.

(1)A(0,2),B(-10),

OA=2OB=1,

∵∠AOB=AOC=BAC=90°,

∴∠ABO+BAO=90°,∠BAO+OAC=90°,

∴∠ABO=CAO,

∴△AOB∽△COA,

,即,解得,

∴點的坐標(biāo)為,

設(shè)過、三點的拋物線的解析式為

代入,得,解得

∴過、、三點的拋物線的解析式為,即,

,

∴拋物線的對稱軸為;

(2)過點軸的垂線,垂足為點,

∵點上,

,

,

,

,

∴當(dāng)時,最大,

當(dāng)時,

∴點的坐標(biāo)為;

(3)存在.

設(shè)點

,

,

.

分三種情況討論:

①當(dāng)點是頂點時,,即,解得,

,

②當(dāng)點是頂點時,,即,解得,

,

③當(dāng)點是頂點時,,即,解得,

,,

綜上所述,當(dāng)點的坐標(biāo)為時,為等腰三角形.

(4)當(dāng)為邊時,,,

右側(cè)時,則點的坐標(biāo)為

左側(cè)時,則點的坐標(biāo)為,

當(dāng)為對角線時,垂直平分,則點的縱坐標(biāo)為1,

代入,

,

綜上所述,當(dāng)點N的坐標(biāo)為(,)(,)(-2,1)

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1)如圖1,若CDAB,垂足為點F,求證:∠BED2BAM;

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1)求拋物線的解析式;

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1)當(dāng)抽得②和④時,用②和④作條件能否判定四邊形是平行四邊形,請說明理由;

2)請你用樹狀圖或表格表示抽取兩張卡片上的條件的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(用序號表示)并求以已經(jīng)抽取的兩張卡片上的條件為已知,使四邊形不能構(gòu)成平行四邊形的概率.

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1)調(diào)查樣本人數(shù)為   ,樣本中B類人數(shù)百分比是   ,其所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角度數(shù)是   ;

2)把條形統(tǒng)計圖補充完整;

3)該單位甲、乙兩個科室中未購車人數(shù)分別為2人和3人,現(xiàn)從這5個人中選2人去參觀車展,用列表或畫樹狀圖的方法,求選出的2人來自不同科室的概率.

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(1)把條形統(tǒng)計圖補充完整;

(2)若該校共有2000名學(xué)生,估計該校書寫等級為“D的學(xué)生約有 人;

(3)隨機抽取了4名等級為“A的學(xué)生,其中有3名女生,1名男生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名,用列表或畫樹狀圖的方法,求抽到的兩名學(xué)生都是女生的概率.

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1)在圖3中,請你類似地畫一條有兩個折點的線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影;

2)請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:

S1__________S2__________,S3__________

3)聯(lián)想與探索

如上圖,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個單位),請你猜想空白部分表示的草場地面積是多少?并說明你的猜想是正確的.

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