Question

【題目】我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=．

例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．

⑴如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)．

求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；

⑵如果一個兩位正整數(shù)t，t ＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為54，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有的“吉祥數(shù)”；

⑶在⑵所得“吉祥數(shù)”中，求 F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）17，28，39；（3）

【解析】（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設(shè)（為正整數(shù)），找出m的最佳分解，確定出的值即可；
（2）設(shè)交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則，根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關(guān)系式，進而求出所求即可；
（3）利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值，進而確定出的最大值即可．

（1）對任意一個完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2（n為正整數(shù)），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）==1；
（2）設(shè)交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則
∵t為“吉祥數(shù)”，
∴
∴
∵ x，y為自然數(shù)，
∴“吉祥數(shù)”有：17，28，39，
（3）F（17）=，F(xiàn)（28）=，F(xiàn)（39）=，
∵＞＞，
∴所有“吉祥數(shù)”中，F（t）的最大值是．