Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，以AB為腰向正方形內部作等腰△ABE，點G在CD上，且CG=3DG．連接BG并延長，與AE交于點F，與AD延長線交于點H．連接DE交BH于點K，連接CK．若AE2=BFBH，F(xiàn)G=，則S四邊形EFKC=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

設DG=3a，CG=9a，作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，想辦法求出線段KF、EF、KM、EN、FG，想辦法用a的代數(shù)式表示四邊形EFKC的面積，再求出a即可解決問題.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=90°，

∵CG=3DG，

∴可以假設DG=3a，CG=9a，

則AB=AD=BC=CD=12a，

∴DG∥AB，

∴，

∴DH=4a，GH=5a，BH=20a，

∵AE2=BFBH，AE=AB，

∴AB2=BFBH，

∴，∵∠ABF=∠ABH，

∴△ABF∽HBA，

∴∠AFB=∠BAH=90°，

∴AF=，BF=a，

∴FG=BH-BF-GH=a，

∵AE=AD，

∴∠ADE=∠AED，

∵∠ADE+∠GDK=90°，∠KEF+∠EKF=90°，∠EKF=∠GKD，

∴∠GDK=∠GKD，

∴GD=GK=3a，

作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，

∵，

∴KM=a，

∵△AFB≌△ANE，

∴EN=BF=a，

∴S四邊形EFKC=S△EFK+S△ECK

=s△EFK+（S△CDE-S△CDK）

=×a×a+（×12a×a-×12a×a）

=a2，

∵FG=a，

∴a=，

∴S四邊形EFKC=，

故答案為．