Question

【題目】動(dòng)手操作：請(qǐng)按要求作圖．（規(guī)范作圖，保留作圖痕跡即可，不要求尺規(guī)作圖）

（）如圖（），是內(nèi)一定點(diǎn)， 為射線(xiàn)邊上一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚�(xiàn)上找一點(diǎn)，使得最�。�

（）如圖（），是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)、分別為射線(xiàn)、邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)作出使得最小的點(diǎn)和點(diǎn)．

（）如圖（），是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)、分別為射線(xiàn)、邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)作出使得最小的點(diǎn)和點(diǎn)．

拓展應(yīng)用：

（）如圖（），為銳角三角形， ， ， 的面積為，點(diǎn)、、分別為三邊、、上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出滿(mǎn)足條件的周長(zhǎng)最小的，并求出周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）作圖見(jiàn)解析；（4）作圖見(jiàn)解析， 的周長(zhǎng)有最小值為11.

【解析】試題分析：（1）作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P^'，連接P^' F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最�。�

（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接MP交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最�。�

（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時(shí)PE+EF+PE最小；

（4）作點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于點(diǎn)F，則此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)為MN的長(zhǎng)度．

試題解析：解：（1）如圖①，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P^'，連接P^' F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最小；

（）如圖②，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接MP交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC于F交AB于E，則此時(shí)PE+EF最小；

（3）如圖③，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于F，則此時(shí)PE+EF+PE最�。�

（4）如圖④，作點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN交AB于E，交BC于點(diǎn)F，則此時(shí)△PEF的周長(zhǎng)為MN的長(zhǎng)度．

∵∠ABC=30°，∴∠MBN=60°且BM=BP=BN，∴△MBN為等邊三角形，∴當(dāng)BP⊥AC時(shí)，MN有最小值，即△PEF的周長(zhǎng)有最小值， ．