Question

【題目】如圖，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，AE交半圓O于點(diǎn)F，BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交DE于點(diǎn)G．

（1）求證：DE為半圓O的切線(xiàn)；

（2）若GE=1，BF=，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，易得OD為△ABC的中位線(xiàn)，則OD∥BC，由于DE⊥BC，所以DE⊥DO，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論．

（2）由AB為半圓O的直徑得到∠AFB=90°，易證得△BGE∽△EGF，利用可計(jì)算出GF，然后在Rt△EGF中利用勾股定理可計(jì)算出EF．

解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為半圓O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，

∴OD為△ABC的中位線(xiàn)．∴OD∥BC．

∵DE⊥BC，∴DE⊥DO．

又∵點(diǎn)D在圓上，∴DE為半圓O的切線(xiàn)．

（2）∵AB為半圓O的直徑，∴∠AFB=90°．

∵DE⊥BC，∴∠GEB=∠GFE=90°．

∵∠BGE=∠EGF，∴△BGE∽△EGF．

∴．∴GE2=GFGB=GF（GF+BF）．

∵GE=1，BF=，∴GF=．

在Rt△EGF中，．