【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點為E,該拋物線與x軸交于A(﹣1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,直線y=﹣x+1與y軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)證明:△DBO∽△EBC;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的P點坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;(2)見解析;(3)存在,P點坐標為(1,﹣1)或P(1, )或(1,﹣)或(1,﹣3+)或(1,﹣3﹣)時,△PBC是等腰三角形.理由:見解析
【解析】試題分析:(1)設交點式y=a(x+1)(x-3),則-3a=-3,然后求出a得到拋物線解析式;
(2)先把拋物線解析式配成頂點式得到E(1,-4),再利用一次函數(shù)解析式確定D(0,1),則利用兩點間的距離公式可計算出BC=3,BE=2,CE=,BD=,從而得到,然后根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△BCE∽△BDO;
(3)設P(1,m),則利用兩點間的距離公式可得BC2=18,PB2=m2+4,PC2=(m+3)2+1,然后討論:當PB=PC時,△PBC是等腰三角形,則m2+4=(m+3)2+1;當PB=BC時,△PBC是等腰三角形,則m2+4=18;當PC=BC時,△PBC是等腰三角形,則(m+3)2+1=18,接著分別解關于m的方程求出m,從而得到滿足條件的P點坐標.
試題解析:(1)解:拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),
即y=ax2-2ax-3a,
∴-3a=-3,解得a=1,
∴拋物線解析式為y=x2-2x-3;
(2)證明:∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴E(1,-4),
當x=0時,y=-x+1=1,則D(0,1),
∵B(3,0),A(-1,0),C(0,-3),
∴BC=,BE=,CE=,BD=,
∵, , ,
∴,
∴△BCE∽△BDO;
(3)存在,
理由:拋物線的對稱軸為直線x=1,設P(1,m),則BC2=18,PB2=(1-3)2+m2=m2+4,PC2=(m+3)2+1,
當PB=PC時,△PBC是等腰三角形,則m2+4=(m+3)2+1,解得m=-1,此時P(1,-1),
當PB=BC時,△PBC是等腰三角形,則m2+4=18,解得m=±,此時P(1, )或(1,-)
當PC=BC時,△PBC是等腰三角形,則(m+3)2+1=18,解得m=-3±,此時P(1,-3+)或(-3-),
綜上所述,P點坐標為(1,﹣1)或P(1, )或(1,﹣)或(1,﹣3+)或(1,﹣3﹣)時,△PBC是等腰三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】.如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx+b(k≠0)與雙曲線相交于點A(m,3),B(-6,n),與x軸交于點C.
(1)求直線y=kx+b(k≠0)的解析式;
(2)若點P在x軸上,且S△ACP=S△BOC,求點P的坐標(直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,線段AC=6cm,線段BC=15cm,點M是AC的中點,在CB上取一點N,使得CN:NB=1:2,求MN的長.
(2)如圖2,若C為線段AB上任意一點,滿足AC+CB=acm,M、N分別為AC、BC的中點,你能猜想MN的長度嗎?并說明理由;
(3)若C在線段AB的延長線上的一點,且滿足AC﹣BC=bcm,M、N分別為AC、BC的中點,你能猜想MN的長度嗎?并說明理由.
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【題目】如圖 1,將一張矩形紙片 ABCD 沿著對角線 BD 向上折疊,頂點 C 落到點 E 處,BE交AD 于點 F.
(1)求證:△BDF 是等腰三角形;
(2)如圖 2,過點 D 作 DG∥BE,交 BC 于點 G,連接 FG 交 BD 于點 O.
①判斷四邊形 BFDG 的形狀,并說明理由;
②若 AD=AB+2,BD=10,求四邊形 BFDG 的面積.
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【題目】關于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0.
(1)求證:無論k為何值,方程總有實數(shù)根.
(2)設x1,x2是方程(k﹣1)x2+2kx+2=0的兩個根,記,S的值能為2嗎?若能,求出此時k的值;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把四張形狀大小完全相同的小正方形卡片(如圖1)不重疊地放在一個底面為長方形(長為mcm,寬為ncm)的盒子的底部(如圖2),盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示.則圖2中兩塊陰影部分的周長和是( )
A. 4mcmB. 4ncmC. 2(m+n)cmD. 4(mn)cm
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【題目】觀察圖形,解答問題:
(1)按下表已填寫的形式填寫表中的空格:
圖① | 圖② | 圖③ | |
三個角上三個數(shù)的積 | 1×(﹣1)×2=﹣2 | (﹣3)×(﹣4)×(﹣5)=﹣60 | |
三個角上三個數(shù)的和 | 1+(﹣1)+2=2 | (﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=﹣12 | |
積與和的商 | ﹣2÷2=﹣1, |
(2)請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)y和圖⑤中的數(shù)x.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點A(3,﹣2)在對稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c的圖象上,其頂點為B.
(1)求頂點B的坐標;
(2)點C在對稱軸上,若△ABC的面積為2,求點C的坐標;
(3)將拋物線向左或右平移,使得新拋物線的頂點落在y軸上,問原拋物線上是否存在點M,平移后的對應點為N,滿足OM=ON?如果存在,求出點M,N的坐標;如果不存在,請說明理由.
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