【題目】我們做如下的規(guī)定:如果一個(gè)三角形在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)保持形狀和大小不變,則把這樣的三角形稱為三角形板.

把兩塊邊長為4的等邊三角形板疊放在一起,使三角形板的頂點(diǎn)與三角形板AC邊中點(diǎn)重合,把三角形板固定不動(dòng),讓三角形板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)M,射線與線段相交于點(diǎn)N

1)如圖1,當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn),即點(diǎn)N與點(diǎn)重合時(shí),易證ADM∽△CND.此時(shí),AM·CN=      

2)將三角形板由圖1所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為.其中,問AM·CN的值是否改變?說明你的理由.

3)在(2)的條件下,設(shè)AM= x,兩塊三角形板重疊面積為,求的函數(shù)關(guān)系式.(圖2,圖3供解題用)

【答案】14;(2AMCN的值不會(huì)改變,理由見解析;(31x4時(shí),y= ;x≥4時(shí),y=

【解析】

1)證明ADM∽△CND,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來求解;
2)不會(huì)改變,關(guān)鍵還是證ADM∽△CND,已知一組60°角,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DNC=DBN+BDN=30°+α,∠ADM=30°+α,因此兩角相等.由此可證得兩三角形相似,因此結(jié)論不變;
3)本題分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)α60°時(shí);②當(dāng)60°≤α90°時(shí).

解:(1)∵∠A=C=D=60°,
∴∠ADM+CDN=120°,∠ADM+AMD=120°,
∴∠CDN=AMD,
∴△ADM∽△CND
,
AMCN=ADCD,
∵頂點(diǎn)D與三角形板ABCAC邊中點(diǎn)O重合,
AD=CD=2,
AMCN=ADCD=2×2=4
故答案為:4;
2AMCN的值不會(huì)改變.
連接BD

ADMCND中,
∵∠A=C=60°,∠DNC=DBN+BDN=30°+α,∠ADM=30°+α,
∴∠ADM=CND
∴△ADM∽△CND
,
AMCN=ADCD=2×2=4
AMCN的值不會(huì)改變;
3)情形1,當(dāng)α60°時(shí),1AM4,即1x4,此時(shí)兩三角形板重疊部分為四邊形DMBN,
如圖2,過DDQABQ,DGBCG


DQ=DG=,
由(2)知,AMCN=4,得CN=,
于是y= 1x4);
情形2,當(dāng)60°≤α90°時(shí),AM≥4時(shí),即x≥4,此時(shí)兩三角形板重疊部分為DPN,
如圖3,過點(diǎn)DDHBCAMH,易證MBP∽△MHD,


,
又∵MB=x-4MH=x-2,DH=2,
BP=,
PN=4
于是y= ,
綜上所述,1x4時(shí),y= ;x≥4時(shí),y=

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