Question

【題目】如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，
求證：AE2+AD2=2AC2 ．

Answer 1

【答案】證明：連接BD，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

∴∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴BD=AE，∠BDC=∠E，

∵∠E+∠CDE=90°，

∴∠BDC+∠CDE=90°，

即∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，BD2+AD2=AB2，

∵AB2=2AC2，

∴AE2+AD2=2AC2．

【解析】連接BD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，進而得出∠ACE=∠BCD，，然后利用SAS判斷出△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BD=AE，∠BDC=∠E，從而得出∠ADB=90°，然后利用勾股定理及等量代換得出結(jié)論。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．