Question

【題目】在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H（點H與點D不重合），通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于點E，延長EG 交CD于點F.如圖①，當點H與點C重合時，易證得FG=FD（不要求證明）;如圖②，當點H為邊CD上任意一點時，求證：FG=FD.

【應(yīng)用】在圖②中，已知AB=5，BE=3，則FD= ，△EFC的面積為 .(直接寫結(jié)果)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）應(yīng)用： ；

【解析】試題分析：由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，∠AGF=∠AGE=∠B=∠D=90°,再結(jié)合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明△AGF≌△ADF，從而得出結(jié)論．

[應(yīng)用]設(shè)FG=x，則FC=5-x，FE=3+x，在Rt△ECF中利用勾股定理可求出x的值，進而可得出答案．

試題解析：（1）由翻折得AB=AG,∠AGE=∠ABE=90°

∴∠AGF=90°

由正方形ABCD得 AB=AD

∴AG=AD

在Rt△AGF和Rt△ADF中，

∴Rt△AGF ≌ Rt△ADF

∴FG=FD

（2）[應(yīng)用]設(shè)FG=x，則FC=5-x，FE=3+x，

在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，即（3+x）2=（5-x）2+22，

解得x=.

即FG的長為．

由（1）得：FD=FG=，FC=5-=，BC=AB=5，BE=3

∴EC=5-3=2

∴ΔEFC的面積=