【題目】如圖,C是半圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AB為半圓的直徑,D是弧BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:AE⊥DE;
(2)①已知CE=2,DE=4,則AB= ;
②連接OC,DC,當(dāng)∠BAC= 度時(shí),四邊形OBDC為菱形.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①10;②60.
【解析】
(1)連接OD,利用切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可;
(2)①連接OC、CD、OD,并過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的垂線,垂足為H,利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可;
②利用菱形的性質(zhì)解答即可.
(1)連接OD.
∵D是弧BC的中點(diǎn),∴∠EAD=∠DAB.
∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO.
∵∠DAB+∠B=90°,∠ADO+∠ADE=90°,∴∠EDA=∠B,∴∠EAD+∠EDA=90°,∴∠AED=90°,∴AE⊥DE;
(2)①如圖,連接OC、CD、OD,并過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的垂線,垂足為H.
∵∠AED=∠AHD=90°,∠EAD=∠DAH,AD=AD,∴△AED≌△AHD(AAS),∴DE=DH=4.
∵D是的中點(diǎn),∴CD=BD.
∵∠CED=∠BHD=90°,CD=BD,DE=DH,∴Rt△CED≌Rt△BHD(HL),∴CE=HB=2.
在Rt△OHD中,設(shè)OD=r,則OH=r﹣2,由勾股定理得:OD2﹣OH2=DH2,即r2﹣(r﹣2)2=42,解得:r=5,∴AB=2r=10;
②連接OC,DC,當(dāng)∠BAC=60度時(shí),四邊形OBDC為菱形,理由如下:
∵∠BAC=60°,OA=OC,∴△ACO是等邊三角形,∴∠DAB=30°,∴∠B=60°,∴OB=OD=DB,∴OC=OB=BD=CD,∴四邊形OBDC是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某文具店銷售甲、乙兩種圓規(guī),當(dāng)銷售5只甲種、1只乙種圓規(guī),可獲利潤(rùn)25元,銷售6只甲種、3只乙種圓規(guī),可獲利潤(rùn)39元.
(1)問(wèn)該文具店銷售甲、乙兩種圓規(guī),每只的利潤(rùn)分別是多少元?
(2)在(1)中,文具店共銷售甲、乙兩種圓規(guī)50只,其中甲種圓規(guī)為a只,求文具店所獲得利潤(rùn)P與a的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)a≥30時(shí)P的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),,以點(diǎn)為圓心,的長(zhǎng)為半徑作⊙,過(guò)點(diǎn)作的垂線交⊙于,兩點(diǎn),點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,連接交⊙于點(diǎn),以,為邊作.
(1)求證:是⊙的切線;
(2)若,求四邊形與⊙重疊部分的面積;
(3)若,,連接,求和的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,M為邊AB的中點(diǎn),N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),將△BMN沿直線MN折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,連接DE、CE,當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí),BN的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1所示,拋物線與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn)
(1)求拋物線的解析式
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方,且是以為腰的等腰三角形時(shí),求的坐標(biāo)
(3)如圖2所示,若點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),連接,以為直角頂點(diǎn),線段為較長(zhǎng)直角邊,構(gòu)造兩直角邊比為的,是否存在點(diǎn),使點(diǎn)恰好落在直線上?若存在,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸是,且經(jīng)過(guò)A(﹣4,0),C(0,2)兩點(diǎn),直線l:y=kx+t(k≠0)經(jīng)過(guò)A,C.
(1)求拋物線和直線l的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC,垂足為F,當(dāng)△PEF≌△AED時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ADC的平分線與AB交于E,點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上,∠BFE=90°,連接AF、CF,CF與AB交于G.有以下結(jié)論:
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FGFC
④EGAE=BGAB
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,,AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P、Q分別是AB、BD上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是BD,兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同并且同時(shí)結(jié)束.若點(diǎn)P的行程為x,的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn),分別在,上,且,以為圓心,長(zhǎng)為半徑作圓,經(jīng)過(guò)點(diǎn),與,分別交于點(diǎn),.
(1)求證:是的切線;
(2)若,,求的半徑;
(3)在(2)的條件下,若的內(nèi)切圓圓心為,直接寫出的長(zhǎng).
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