【題目】如圖,在RtABC中,C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點(diǎn)M,N從點(diǎn)C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A,B移動,同時動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動,連接PM,PN,設(shè)移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).

(1)當(dāng)t為何值時,以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?

(2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】解:如圖,在RtABC中,C=90°,AC=4cm,BC=3cm

根據(jù)勾股定理,得AB=。

(1)以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,分兩種情況:

當(dāng)AMP∽△ABC時,,即,解得;

當(dāng)APM∽△ABC時,,即,解得t=0(不合題意,舍去)。

綜上所述,當(dāng)時,以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似。

(2)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:

假設(shè)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值。

如圖,過點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H.則PHAC,

,即。。

>0,S有最小值。

當(dāng)t= 時,S最小值=

答:當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是。

【解析】

試題根據(jù)勾股定理求得AB=5cm

(1)分AMP∽△ABC和APM∽△ABC兩種情況討論:利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值。

(2)如圖,過點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H,構(gòu)造平行線PHAC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;然后根據(jù)“S=SABC﹣SBPH”列出S與t的關(guān)系式,則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值。

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