Question

【題目】已知：F、G分別為直線AB、CD上的點(diǎn)，E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接EF、EG，∠AFE＋∠CGE＝∠FEG.

（1）如圖（1），求證：AB∥CD，

（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)E作EM⊥EF、EH⊥EG交直線AB上的點(diǎn)M、H，點(diǎn)N在EH上，過(guò)N作PQ∥EF.求證∶∠HNQ＝∠MEG.

（3）如圖（3）在（2）的條件下，若∠ENQ＝∠EMF，∠EGD＝110°，求∠CQP的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）125°.

【解析】

（1）過(guò)E作ET∥AB,證得∠GET=∠EGC,從而ET∥CD,因此可得結(jié)論;

（2）根據(jù)EM⊥EF、EH⊥EG,得∠MEG＋∠FEN＝180°;根據(jù)PQ∥EF得∠PNE＋∠FEN＝180°,∠HNQ＝∠PNE,故∠HNQ＝∠MEG;

（3）設(shè)∠FME＝α 則α＋α＋20°＝90°,求得α＝35°, 因此∠MPN＝∠MFE＝55°,故∠PQC＝125°.

（1）過(guò)E作ET∥AB.

則∠AFE=∠FET,

∵∠FET+∠GET=∠FEG,

∠AFE＋∠CGE＝∠FEG,

∴∠GET=∠EGC,

∴ET∥CD,

∴AB∥CD;

（2）如圖,

∵EM⊥EF、EH⊥EG,

∴∠MEG＋∠FEN＝180°,

∵PQ∥EF

∴∠PNE＋∠FEN＝180°,∠HNQ＝∠PNE

∴∠HNQ＝∠MEG

（3）過(guò)E作ET∥AB,

設(shè)∠FME＝α ,

∵α＋α＋20°＝90°,

∴α＝35°,

∴∠MPN＝∠MFE＝α＋20°＝55°,

∴∠PQC＝180°－55°＝125°.