【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,點E在AD邊上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.
(1)求證:△ABE∽△DEF;
(2)求EF的長.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠AEB+∠ABE=90°。
∵EF⊥BE,∴∠AEB+∠DEF=90°,∴∠DEF=∠ABE。
∴△ABE∽△DEF。
(2)解:∵△ABE∽△DEF,∴。
∵AB=6,AD=12,AE=8,∴,DE=AD-AE=12-8=4。
∴,解得:。
(1)由四邊形ABCD是矩形,易得∠A=∠D=90°,又由EF⊥BE,利用同角的余角相等,即可得∠DEF=∠ABE,則可證得△ABE∽△DEF。
(2)由(1)△ABE∽△DEF,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可得 ,又由AB=6,AD=12,AE=8,利用勾股定理求得BE的長,由DE=AB-AE,求得DE的長,從而求得EF的長。
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【題目】已知△ABN和△ACM位置如圖所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求證:BD=CE;
(2)求證:∠M=∠N.
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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟的發(fā)展,“共享單車“越來越走近老百姓的生活.趙剛同學(xué)對某站點”共享單車”的租用情況進行了調(diào)查,將該站點一天中市民每次租用“其享單車“的時間t(單位:分)(t≤120)分成A,B,C,D四個組,進行各組人次統(tǒng)計,并繪制了如下的統(tǒng)計圖(不完整).請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)該站點一天中租用”共享單車“的總?cè)舜螢?/span> ,表示A的扇形圓心角的度數(shù)是 .
(2)補全條形統(tǒng)計圖.
(3)“共享單車”服務(wù)公司規(guī)定:市民每次使用共享單車時間不超過30分鐘收費1元,超過30分鐘收費2元,已知該市每天租用共享單車(時間在2小時以內(nèi))的市民平均約有5000人次,根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計共享單車服務(wù)公司每天大約收入多少元?
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【題目】一件商品的包裝盒是一個長方體(如圖1),它的寬和高相等.小明將四個這樣的包裝盒放入一個長方體大紙箱中,從上面看所得圖形如圖2所示,大紙箱底面長方形未被覆蓋的部分用陰影表示.接著小明將這四個包裝盒又換了一種擺放方式,從上面看所得圖形如圖3所示,大紙箱底面未被覆蓋的部分也用陰影表示.
設(shè)圖1中商品包裝盒的寬為a,則商品包裝盒的長為___________,圖2中陰影部分的周長與圖3中陰影部分的周長的差為____________(都用含a的式子表示)
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與對角線AC交于點O,與邊AD、BC分別交于點E、F,那么四邊形AFCE是不是菱形?為什么?
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【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標(biāo);
(3)有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當(dāng)點M到 達(dá)點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積.
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【題目】閱讀下列材料:
讓我們來規(guī)定一種運算:,
例如:,再如:
按照這種運算的規(guī)定:請解答下列各個問題:
① ;
② 當(dāng)= 時, =0;
③ 將下面式子進行因式分解: .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(1,0)和點,與軸交于點,對稱軸為直線=1.
(1)求點的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)
(2)連接、,若△的面積為6,求此拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,點為軸正半軸上的一點,點與點,點與點關(guān)于點成中心對稱,當(dāng)△為直角三角形時,求點的坐標(biāo).
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【題目】小明同學(xué)在查閱大數(shù)學(xué)家高斯的資料時,知道了高斯如何求1+2+3+…+100.小明于是對從1開始連續(xù)奇數(shù)的和進行了研究,發(fā)現(xiàn)如下式子:
第1個等式: ;第2個等式: ;第3個等式:
探索以上等式的規(guī)律,解決下列問題:
(1) ;
(2)完成第個等式的填空: ;
(3)利用上述結(jié)論,計算51+53+55+…+109 .
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