Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結(jié)CD，求證：AD⊥CD；

（3）如圖2，P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；

（4）點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A，D，F(xiàn)，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）證明見(jiàn)解析；（3）；（4）存在；（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0）.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出DM、OM，再根據(jù)∠BAD的正切值求出AM，然后求出AO，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入拋物線表達(dá)式求出a，從而得解；

（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式求出AC、CD、AD，然后利用勾股定理逆定理證明即可；

（3）利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，再表示出PE，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可；

（4）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，0），然后分①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時(shí)，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求解即可；FQ在x軸上方時(shí)，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求解；②AD是平行四邊形對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得DQ∥x軸，然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)AF=DQ求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，

∵D（2，﹣3），

∴DM=3，OM=2，

∵tan∠BAD=1，

∴AM=DM=3，

∴AO=AM﹣OM=3﹣2=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線得，a+2a﹣3=0，

解得a=1，

所以，y=x2﹣2x﹣3；

（2）證明：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)C（1，﹣4），

由勾股定理得，AD2=32+32=18，

CD2=（2﹣1）2+（﹣3+4）2=2，

AC2=（1+1）2+42=20，

∵AD2+CD2=AC2=20，

∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，

∴AD⊥CD；

（3）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），

將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入得，，

解得，

所以，直線AD的解析式為y=﹣x﹣1，

所以，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∵P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，

∴﹣1≤x≤2，

∴當(dāng)x=時(shí)，線段PE長(zhǎng)度的最大值是；

（4）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，0），

①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+3，﹣3），

代入拋物線得，（x+3）2﹣2（x+3）﹣3=﹣3，

解得x1=﹣3，x2=﹣1（舍去），

所以，F（﹣3，0）；

FQ在x軸上方時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x﹣3，3），

代入拋物線得，（x﹣3）2﹣2（x﹣3）﹣3=3，

整理得，x2﹣8x+9=0，

解得，x=4±，

所以，F（4+，0）或（4﹣，0）；

②AD是平行四邊形對(duì)角線時(shí)，∵A、F都在x軸上，

∴DQ∥x軸，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣3，

∴x2﹣2x﹣3=﹣3，

解得x1=2，x2=0，

∴DQ=2，

∴AF=2，

∵AO=1，

∴OF=2﹣1=1，

∴F（1，0），

綜上所述，x軸上存在點(diǎn)F（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0），使以A，D，F(xiàn)，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．