Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2－6ax＋5a（a為常數(shù)）的圖像為拋物線C．

（1）求證：不論a為何值，拋物線C與x軸總有兩個不同的公共點(diǎn)；

（2）設(shè)拋物線C交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)D，若△ABD的面積為20，求a的值；

（3）設(shè)點(diǎn)E（2，4）、F（3，4），若拋物線C與線段EF只有一個公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a＝±2；（3）－≤a≤－1．

【解析】

（1）△=（-6a）2-4a×5a=15a2＞0，即可求解；
（2）△ABD的面積=AB×|yD|=×4×5|a|=20，即可求解；
（3）分a＞0、a＜0兩種情況，通過畫圖找臨界點(diǎn)即可求解．

（1）∵二次函數(shù)y＝ax2－6ax＋5a，

∴a≠0，
∴△=（-6a）2-4a×5a=15a2＞0，

∴不論a為何值，拋物線C與x軸總有兩個不同的公共點(diǎn)；

（2）解：∵ 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5a．

∴ D（0，5a），

當(dāng)y=0，時(shí)x=1或5，

∴A、B的坐標(biāo)為（1，0），（5，0），

由（1）得，AB＝5－1＝4．

∵△ABD的面積為20，

∴×4×|5a|＝20，

解得 a＝±2．

（3）①當(dāng)a＞0時(shí)，如圖1，EF與拋物線不可能有公共點(diǎn)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖2，

臨界點(diǎn)為點(diǎn)E、F，
當(dāng)拋物線過點(diǎn)E時(shí)，即x=2，y=ax2-6ax+5a-3a=-3a=4，解得：a=-，

當(dāng)拋物線過點(diǎn)F時(shí)，即x=3，y=ax2-6ax+5a-3a=-4a=4，解得：a=-1，

∴－≤a≤－1．