【題目】綜合與探究:
如圖1,拋物線y=x2+x+3與x軸交于C、F兩點(點C在點F左邊),與y軸交于點D,AD=2,點B坐標(biāo)為(﹣4,5),點E為AB上一點,且BE=ED,連接CD,CB,CE.
(1)求點C、D、E的坐標(biāo);
(2)如圖2,延長ED交x軸于點M,請判斷△CEM的形狀,并說明理由;
(3)在圖2的基礎(chǔ)上,將△CEM沿著CE翻折,使點M落在點M'處,請判斷點M'是否在此拋物線上,并說明理由.
【答案】(1)點C的坐標(biāo)是(﹣4,0),點D的坐標(biāo)是(0,3),點E的坐標(biāo)是(﹣,5);(2)△CEM的等腰三角形.理由見解析;(3)點M'不在此拋物線上.理由見解析.
【解析】
(1)結(jié)合拋物線解析式求得點C、D的坐標(biāo);設(shè)EA=a,根據(jù)已知條件BE=ED列出方程a2+22=(4-a)2,解方程即可求得a的值,易得點E的坐標(biāo);
(2)△CEM的等腰三角形,利用全等三角形(△CBE≌△CDE)的性質(zhì)得到∠BEC=∠CED,由平行線的性質(zhì)和等量代換推知∠CED=∠ECM.所以EM=CM,證得△CEM的等腰三角形;
(3)點M'不在此拋物線上.設(shè)M(m,0).由相似三角形(△DOM∽△DAE)的對應(yīng)邊成比例求得m的值,易得CM的長度,根據(jù)翻折的性質(zhì)知EM=EM′.易得四邊形CMEM′是菱形.由菱形的對邊相等的性質(zhì)可以求得點M′的坐標(biāo),將代入函數(shù)解析式進行驗證即可.
(1)如圖1所示,
∵拋物線y=x2+ x+3與x軸交于C,當(dāng)y=0時,x2+ x+3=0.
解得x1=﹣,x2=﹣4.
∵點C在點F左邊,
∴點C的坐標(biāo)是(﹣4,0).
當(dāng)x=0時,y=3.
∴點D的坐標(biāo)是(0,3).
∵AD=2,D(0,3),
∴OA=5.
∵點B坐標(biāo)為(﹣4,5),
∴BA∥x軸.
在Rt△EAD中,設(shè)EA=a,EB=4﹣a.
又BE=ED,
∴DE=4﹣a.
∴a2+22=(4﹣a)2,得a=.
∴點E的坐標(biāo)是(,5).
(2)如圖2所示,△CEM的等腰三角形.理由如下:
由C(﹣4,0),D(0,3)知,OC=4,OD=3.
由勾股定理求得CD=5.
又∵點B坐標(biāo)為(﹣4,5),
∴CB=5,CD=CB.
又∵BE=BD,
∴△CBE≌△CDE(SSS).
∴∠BEC=∠CED.
又∵BE∥CM,
∴∠BEC=∠ECM,
∴∠CED=∠ECM.
∴EM=CM.
∴△MCE是等腰三角形.
(3)點M'不在此拋物線上.理由如下:
如圖3所示,
設(shè)點M的坐標(biāo)是(m,0).
∵△DOM∽△DAE.
,即
解得m=.
∵CM=4+ =.
由翻折可知,EM=EM′.
∵CM=EM,
∴四邊形CMEM′是菱形.
∴EM′=CM=.
.
∴點M′的坐標(biāo)是(,5).
當(dāng)m=時,代入拋物線解析式y=x2+ x+3,得
.
∴點M′不在此拋物線上.
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【題目】某校組織學(xué)生書法比賽,對參賽作品按A、B、C、D四個等級進行了評定.現(xiàn)隨機取部分學(xué)生書法作品的評定結(jié)果進行分析,并繪制扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖如下:
根據(jù)上述信息完成下列問題:
(1)求這次抽取的樣本的容量;
(2)請在圖②中把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)已知該校這次活動共收到參賽作品750份,請你估計參賽作品達到B級以上(即A級和B級)有多少份?
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【題目】已知函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過(1,3),(4,0)
(1)求該拋物線的解析式;(2)求當(dāng)函數(shù)值y>0時自變量x的范圍.
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【題目】我國古代算書《九章算術(shù)》中第九章第六題是:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深葭長各幾何?你讀懂題意了嗎?請回答水深______尺,葭長_____尺.解:根據(jù)題意,設(shè)水深OB=x尺,則葭長OA'=(x+1)尺.可列方程正確的是( )
A. x2+52 =(x+1)2B. x2+52 =(x﹣1)2
C. x2+(x+1)2 =102D. x2+(x﹣1)2=52
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B、F為圓心,大于BF的相同長度為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交BC于點E,連接EF.若四邊形ABEF的周長為16,∠C=60°,則四邊形ABEF的面積是___.
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【題目】為了給游客提供更好的服務(wù),某景區(qū)隨機對部分游客進行了關(guān)于“景區(qū)服務(wù)工作滿意度”的調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表.
滿意度 | 人數(shù) | 所占百分比 |
非常滿意 | 12 | 10% |
滿意 | 54 | m |
比較滿意 | n | 40% |
不滿意 | 6 | 5% |
根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為______,表中m的值為_______;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)據(jù)統(tǒng)計,該景區(qū)平均每天接待游客約3600人,若將“非常滿意”和“滿意”作為游客對景區(qū)服務(wù)工作的肯定,請你估計該景區(qū)服務(wù)工作平均每天得到多少名游客的肯定.
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【題目】下列說法正確的是( 。
A. 為了解全省中學(xué)生的心理健康狀況,宜采用普查方式
B. 擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,兩枚硬幣都是正面朝上這一事件發(fā)生的概率為
C. 擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動后,5點朝上是必然事件
D. 甲乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們成績的平均數(shù)相同,方差分別是S甲2=0.4,S乙2=0.6,則甲的射擊成績較穩(wěn)定
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【題目】已知:如圖,O為坐標(biāo)原點,四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,則P點的坐標(biāo)為( )
A. (3,4)或(2,4) B. (2,4)或(8,4)
C. (3,4)或(8,4) D. (3,4)或(2,4)或(8,4)
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【題目】為積極創(chuàng)建全國文明城市,我市對某路口的行人交通違章情況進行了20天的調(diào)查,將所得的數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖(圖2不完整):
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)第13天,這一路口的行人交通違章次數(shù)是 ;這20天中,行人交通違章7次的有 天.
(2)這20天中,行人交通違章6次的有 天;請把圖2中的頻數(shù)直方圖補充完整.
(3)請你根據(jù)圖2繪制一個扇形統(tǒng)計圖,并求行人違章9次的天數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所對的圓心角度數(shù).
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