【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA=2,OC=3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)作Rt△OBC的高OD,延長OD與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)①在x軸上方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使四邊形OBEP是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
②在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在上點(diǎn)Q,使得△BEQ的周長最?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)(2,2);(3)①存在,(﹣1,2);②存在,(,)
【解析】
(1)先根據(jù)已知條件得出A點(diǎn)及C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式;
(2)y=0代入(1)中所求二次函數(shù)的解析式即可的出此函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由OD平分∠BOC可知OE所在的直線為y=x,再解此直線與拋物線組成的方程組即可求出E點(diǎn)坐標(biāo);
(3)①過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P,連接BE、PO,把y=2代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得出四邊形OBEP是平行四邊形;
②設(shè)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接QA、QB、QE、BE,由QA=QB可知△BEQ的周長等于BE+QA+QE,由A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出直線AE的解析式,再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是x=可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出結(jié)論.
解:(1)∵OA=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0).
∵OC=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).
∵把(﹣2,0),(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得解得
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+3;
(2)把y=0代入y=﹣x2+x+3,
解得x1=﹣2,x2=3
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∴OB=OC=3
∵OD⊥BC,
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直線為y=x
解方程組得,,
∵點(diǎn)E在第一象限內(nèi),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2).
(3)①存在,如圖1,過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P,連接BE、PO,
把y=2代入y=﹣x2+x+3,
解得x1=﹣1,x2=2
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,2),
∵PE∥OB,且PE=OB=3,
∴四邊形OBEP是平行四邊形,
∴在x軸上方的拋物線上,存在一點(diǎn)P(﹣1,2),使得四邊形OBEP是平行四邊形;
②存在,如圖2,設(shè)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接QA、QB、QE、BE,
∵QA=QB,
∴△BEQ的周長等于BE+QA+QE,
又∵BE的長是定值
∴A、Q、E在同一直線上時(shí),△BEQ的周長最小,
由A(﹣2,0)、E(2,2)可得直線AE的解析式為y=x+1,
∵拋物線的對(duì)稱軸是x=
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)
∴在拋物線的對(duì)稱軸上,存在點(diǎn)Q(,),使得△BEQ的周長最。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017遼寧省葫蘆島市)如圖,∠MAN=60°,AP平分∠MAN,點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn),點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng),連接BC,將∠ABC(0°<∠ABC<120°)的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí),①請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論;
②請(qǐng)?zhí)骄烤段AC,AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并證明;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長線上時(shí),BC交射線AM于點(diǎn)F,若AB=4,AC=,請(qǐng)直接寫出線段AD和DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,⊙O1過原點(diǎn)O,且⊙O1與⊙O2相外切,圓心O1與O2在x軸正半軸上,⊙O1的半徑O1P1、⊙O2的半徑O2P2都與x軸垂直,且點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,則 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半徑為3半圓O的直徑.CD是圓中可移動(dòng)的弦,且CD=3,連接 AD、BC相交于點(diǎn)P,弦CD從C與A重合的位置開始,繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,則交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“春節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“湯圓”的習(xí)俗.某食品廠為了解市民對(duì)去年銷量較好的肉餡(A)、豆沙餡 (B)、菜餡(C)、三丁餡 (D)四種不同口味湯圓的喜愛情況,在節(jié)前對(duì)某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整).請(qǐng)根據(jù)以上信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民人數(shù)是 人;
(2)將圖 ①②補(bǔ)充完整;( 直接補(bǔ)填在圖中)
(3)求圖②中表示“A”的圓心角的度數(shù);
(4)若居民區(qū)有8000人,請(qǐng)估計(jì)愛吃D湯圓的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一不透明的布袋里,裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球(除顏色外其余都相同),其中有紅球2個(gè),藍(lán)球1個(gè),黃球若干個(gè),現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為.
(1)求口袋中黃球的個(gè)數(shù);
(2)甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個(gè)小球(不放回),再隨機(jī)摸出一個(gè)小球,請(qǐng)用“樹狀圖法”或“列表法”,
求兩次摸 出都是紅球的概率;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OA,OB是⊙O的兩條半徑,OA⊥OB,C是半徑OB上的一動(dòng)點(diǎn),連接AC并延長交⊙O于D,過點(diǎn)D作直線交OB延長線于E,且DE=CE,已知OA=8.
(1)求證:ED是⊙O的切線;
(2)當(dāng)∠A=30°時(shí),求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,BD=BC,
(1)如圖,若菱形ABCD的面積為6.求點(diǎn)B到DC的最短距離.
(2)如圖2,點(diǎn)F在BC邊上,且DE=CF,連接DF交BE于點(diǎn)M,連接EB并延長至點(diǎn)N,使得BN=DM,求證:AN=DM+BM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABD中,∠A=90°,將斜邊BD繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至BC,使BC∥AD,過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABD≌△ECB;
(2)若∠ABD=30°,BE=3,求弧CD的長.
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