【題目】小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn),對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論:P1P2= 他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P(x,y)P的坐標(biāo)公式:x= ,y=

(1)請你幫小明寫出中點坐標(biāo)公式的證明過程;
(2)①已知點M(2,﹣1),N(﹣3,5),則線段MN長度為;
②直接寫出以點A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標(biāo):;
(3)如圖3,點P(2,n)在函數(shù)y= x(x≥0)的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上,請在OL、x軸上分別找出點E、F,使△PEF的周長最小,簡要敘述作圖方法,并求出周長的最小值.

【答案】
(1)

證明:∵P1(x1,y1),P2(x2,y2),

∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1,

∴Q1Q= ,

∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ,

∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線,

∴PQ= = ,

即線段P1P2的中點P(x,y)P的坐標(biāo)公式為x= ,y=


(2) ;(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3)
(3)

解:如圖,設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M,關(guān)于x軸的對稱點為N,連接PM交直線OL于點R,連接PN交x軸于點S,連接MN交直線OL于點E,交x軸于點F,

又對稱性可知EP=EM,F(xiàn)P=FN,

∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,

∴此時△PEF的周長即為MN的長,為最小,

設(shè)R(x, x),由題意可知OR=OS=2,PR=PS=n,

=2,解得x=﹣ (舍去)或x=

∴R( , ),

=n,解得n=1,

∴P(2,1),

∴N(2,﹣1),

設(shè)M(x,y),則 = , = ,解得x= ,y= ,

∴M( ),

∴MN= = ,

即△PEF的周長的最小值為


【解析】(2)①∵M(jìn)(2,﹣1),N(﹣3,5),
∴MN= = ,
所以答案是: ;
②∵A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),
∴當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時,其對稱中心坐標(biāo)為(0,1),
設(shè)D(x,y),則x+3=0,y+(﹣1)=2,解得x=﹣3,y=3,
∴此時D點坐標(biāo)為(﹣3,3),
當(dāng)AC為對角線時,同理可求得D點坐標(biāo)為(7,1),
當(dāng)BC為對角線時,同理可求得D點坐標(biāo)為(﹣1,﹣3),
綜上可知D點坐標(biāo)為(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3),
所以答案是:(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3);
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用勾股定理的概念和軸對稱-最短路線問題的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;已知起點結(jié)點,求最短路徑;與確定起點相反,已知終點結(jié)點,求最短路徑;已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑.

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(2)設(shè)點D是拋物線上一點,且點D的橫坐標(biāo)為﹣2,求△AOD的面積.

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A.(﹣3,0)
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C.3
D.3

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