Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線(xiàn)的一部分C1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線(xiàn)的一部分C2組合成一條封閉曲線(xiàn)，我們把這條封

閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“蛋線(xiàn)”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線(xiàn)C2：（＜0）的頂點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）“蛋線(xiàn)”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】解：（1）令y=0，則 ，

∵m＜0，∴，解得：， 。

∴A（，0）、B（3，0）。

（2）存在。理由如下：

∵設(shè)拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式為（），

把C（0，）代入可得，。

∴Ｃ1的表達(dá)式為：，即。

設(shè)P（p，），

∴ S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC =。

∵<0，∴當(dāng)時(shí),S△PBC最大值為。

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），

∴BD2=，BM2=，DM2=。

∵∠MBD<90°, ∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況：

當(dāng)∠BMD=90°時(shí)，BM2+ DM2= BD2 ，即＋=，

解得：, (舍去)。

當(dāng)∠BDM=90°時(shí)，BD2+ DM2= BM2 ，即＋=，

解得：， (舍去) 。

綜上所述， 或時(shí)，△BDM為直角三角形。

【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線(xiàn)C1的解析式，由S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC得到△PBC面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理求出最大值。

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90°時(shí)；②∠BDM=90°時(shí)，討論即可求得m的值。